Chủ đề này có 1 trả lời

[Tru09]

Đề bài :

Cho dãy số  ${a_k}$ xác định bởi $ a_0 =\frac{1}{2} , a_{k+1} =a_k  +\frac{a_k^2}{n} $ với $k = 1,2 ,...n-1.$

Chứng minh rằng $1 -\frac{1}{n} < a_n < 1.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tru09: 07-06-2014 - 21:05

[dark templar]

Đề bài :

Cho dãy số  ${a_k}$ xác định bởi $ a_0 =\frac{1}{2} , a_{k+1} =a_k  +\frac{a_k^2}{n} $ với $k = 1,2 ,...n-1.$

Chứng minh rằng $1 -\frac{1}{n} < a_n < 1.$

 

Dễ thấy dãy này là dãy dương và tăng nghiêm ngặt.

 

Ta có hệ thức $\frac{1}{a_{k+1}}=\frac{1}{a_{k}}-\frac{1}{a_{k}+n}$ nên:

$\sum_{k=0}^{n-1}\left ( \frac{1}{a_{k}}-\frac{1}{a_{k+1}} \right )=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n+a_{k}}<n.\frac{1}{n}=1$

$\Rightarrow 2-\frac{1}{a_{n}}<1\Rightarrow a_{n}<1$

 

Đồng thời,ta có:

$\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{a_{k}+n}>n.\frac{1}{n+1}\Rightarrow 2-\frac{1}{a_{n}}>\frac{n}{n+1}\Rightarrow a_{n}>1-\frac{1}{n}$