Chủ đề này có 6 trả lời

[pndpnd]

cho a,b,c>0 . c/m

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pndpnd: 08-06-2014 - 16:56

[megamewtwo]

cho a,b,c>0 . c/m

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$

Chủ yếu bài này chỉ cần để ý rằng:$\frac{1+abc}{a\left ( b+1 \right )}+1= \frac{a+1}{a\left ( b+1 \right )}+\frac{b\left ( c+1 \right )}{a+1}$

$\left ( 1+abc \right )\left ( \sum \frac{1}{a\left ( b+1 \right )} \right )+3= \sum \frac{a+1}{a\left ( b+1 \right )}+\sum \frac{b\left ( c+1 \right )}{b+1}\geq 6$

Đến đây là được rồi      

[Gogetabg]

Chủ yếu bài này chỉ cần để ý rằng:$\frac{1+abc}{a\left ( b+1 \right )}+1= \frac{a+1}{a\left ( b+1 \right )}+\frac{b\left ( c+1 \right )}{a+1}$

$\left ( 1+abc \right )\left ( \sum \frac{1}{a\left ( b+1 \right )} \right )+3= \sum \frac{a+1}{a\left ( b+1 \right )}+\sum \frac{b\left ( c+1 \right )}{b+1}\geq 6$

Đến đây là được rồi      

Bác cho em hỏi cái Bước1 biến đổi thế nào nó lại ra thế?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Gogetabg: 04-10-2014 - 19:26

[huybyeutoan1]

cho a,b,c>0 . c/m

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$

áp dụng bdt BCS dạng cộng mẫu ta có

$VT>=9/(a+b+c+bc+ac+ab)>=9/(3+3abc)=9/(1+abc)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huybyeutoan1: 05-10-2014 - 10:16

[huybyeutoan1]

Bác cho em hỏi cái Bước1 biến đổi thế nào nó lại ra thế?

quy đồng lên rồi tách ra mà bạn

[CandyPanda]

áp dụng bdt BCS dạng cộng mẫu ta có

$VT>=9/(a+b+c+bc+ac+ab)>=9/(3+3abc)=9/(1+abc)

Sao lại có 9/(a+b+c+bc+ac+ab)>=9/(3+3abc) thế bạn ơi ?

 

Cách khác:
Đặt $abc=k^{3}$. Suy ra tồn tại x,y,z dương thỏa mãn: $a=k\frac{x}{y}, b=k\frac{y}{z}, c=k\frac{z}{x}$

Khi đó, ta có:

VT = $\sum \frac{1}{k\frac{x}{y}+k^{2}\frac{x}{z}} = \sum \frac{yz}{kxz+k^{2}xy} = \sum \frac{(yz)^{2}}{kxyz^{2}+k^{2}xy^{2}z} \geq \frac{(xy+yz+zx)^{2}}{kxyz(x+y+z)+k^{2}xyz(x+y+z)}\geq \frac{3}{k+k^{2}}$
Lại có: $(k+1)(k-1)^{2}\geq 0 \Leftrightarrow k+k^{2}\leq 1+k^{3}$
Vậy ta có đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi CandyPanda: 05-10-2014 - 17:41

[KietLW9]

cho a,b,c>0 . c/m

$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc}$

$\sum_{cyc}\frac{1}{a(b+1)}-\frac{3}{1+abc}=\sum_{cyc}\frac{(ab-1)^2}{a(a+1)(b+1)(abc+1)}\geqslant 0$