Chủ đề này có 8 trả lời

[nguyenhongsonk612]

Cho $x,y>0$ và $x+xy+y=8$. Tìm Min của

$P=x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

P/s: Câu 5 đề thi thử chiều nay của trường mình . Min ra 45 có đúng k vậy?

[buitudong1998]

Cho $x,y>0$ và $x+xy+y=8$. Tìm Min của

$P=x^3+y^3+x^2+y^2+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$

P/s: Câu 5 đề thi thử chiều nay của trường mình . Min ra 45 có đúng k vậy?

Từ GT suy ra: $x+y\geqslant 4$

Ta có:

$P\geqslant \frac{(x+y)^{3}}{4}+\frac{(x+y)^{2}}{2}+5(x+y)+\frac{4}{x+y}\geqslant 16+8+\frac{19}{4}(x+y)+\frac{x+y}{4}+\frac{4}{x+y}\geqslant 24+19+2=45$

Vậy $MinP=45\Leftrightarrow x=y=2$

[Viet Hoang 99]

Từ GT suy ra: $x+y\geqslant 4$

Ta có:

$P\geqslant \frac{(x+y)^{3}}{4}+\frac{(x+y)^{2}}{2}+5(x+y)+\frac{4}{x+y}\geqslant 16+8+\frac{19}{4}(x+y)+\frac{x+y}{4}+\frac{4}{x+y}\geqslant 24+19+2=45$

Vậy $MinP=45\Leftrightarrow x=y=2$

Cm: $x^3+y^3\geq \frac{(x+y)^3}{4}$ như nào anh

[buitudong1998]

Cm: $x^3+y^3\geq \frac{(x+y)^3}{4}$ như nào anh

Tương đương:

$x^{3}+y^{3}\geqslant xy(x+y)$

[nguyenhongsonk612]

Từ GT suy ra: $x+y\geqslant 4$

Ta có:

$P\geqslant \frac{(x+y)^{3}}{4}+\frac{(x+y)^{2}}{2}+5(x+y)+\frac{4}{x+y}\geqslant 16+8+\frac{19}{4}(x+y)+\frac{x+y}{4}+\frac{4}{x+y}\geqslant 24+19+2=45$

Vậy $MinP=45\Leftrightarrow x=y=2$

Em làm như này cơ! Mong mọi người giúp. Đáng tiếc là câu này được có $0,5$ điểm.

Giải:

Đặt $x+y=t$ $(t>0)$

Ta có $8=x+y+xy=t+xy\leq t+\frac{t^2}{4}\Leftrightarrow (t+8)(t-4)\geq 0\Rightarrow t\geq 4$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$x^2+4\geq 4x$

$y^2+4\geq 4y$

$2(x^2+y^2)\geq 4xy$

Cộng vế với vế, ta được:

$3(x^2+y^2)+8\geq 4(x+y+xy)=32\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 8$

$\Rightarrow P\geq (x+y)(x^2-xy+y^2)+8+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq t(t^2-3xy)+8+5t+\frac{4}{t}\geq t(t^2-\frac{3t^2}{4})+8+5t+\frac{4}{t}=\frac{t^3}{4}+8+\frac{4}{t}+\frac{t}{4}+\frac{19t}{4}\geq \frac{4^3}{4}+8+2\sqrt{\frac{4}{t}.\frac{t}{4}}+\frac{19.4}{4}=45$

Vậy $Min P=45$. Dấu "=" khi $x=y=2$

 

-------

Viet Hoang 99:
Đúng rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 11-06-2014 - 11:25

[Viet Hoang 99]

Em làm như này cơ! Mong mọi người giúp

Giải:

Đặt $x+y=t$ $(t>0)$

Ta có $8=x+y+xy=t+xy\leq t+\frac{t^2}{4}\Leftrightarrow (t+8)(t-4)\geq 0\Rightarrow t\geq 4$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$x^2+4\geq 4x$

$y^2+4\geq 4y$

$2(x^2+y^2)\geq 4xy$

Cộng vế với vế, ta được:

$3(x^2+y^2)+8\geq 4(x+y+xy)=32\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 8$

$\Rightarrow P\geq (x+y)(x^2-xy+y^2)+8+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq t(t^2-3xy)+8+5t+\frac{4}{t}\geq$
$t^2(t^2-\frac{3t^2}{4})+8+5t+\frac{4}{t}$
$=\frac{t^3}{4}+8+\frac{4}{t}+\frac{t}{4}+\frac{19t}{4}\geq \frac{4^3}{4}+8+2\sqrt{\frac{4}{t}.\frac{t}{4}}+\frac{19.4}{4}=45$

Vậy $Min P=45$. Dấu "=" khi $x=y=2$

 

-------

Viet Hoang 99:
Đúng rồi

Xem lại phần đỏ

[buitudong1998]

Em làm như này cơ! Mong mọi người giúp

Giải:

Đặt $x+y=t$ $(t>0$

Ta có $8=x+y+xy=t+xy\leq t+\frac{t^2}{4}\Leftrightarrow (t+8)(t-4)\geq 0\Rightarrow t\geq 4$

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$x^2+4\geq 4x$

$y^2+4\geq 4y$

$2(x^2+y^2)\geq 4xy$

Cộng vế với vế, ta được:

$3(x^2+y^2)+8\geq 4(x+y+xy)=32\Leftrightarrow x^2+y^2\geq 8$

$\Rightarrow P\geq (x+y)(x^2-xy+y^2)+8+5(x+y)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq t(t^2-3xy)+8+5t+\frac{4}{t}\geq t^2(t^2-\frac{3t^2}{4})+8+5t+\frac{4}{t}=\frac{t^3}{4}+8+\frac{4}{t}+\frac{t}{4}+\frac{19t}{4}\geq \frac{4^3}{4}+8+2\sqrt{\frac{4}{t}.\frac{t}{4}}+\frac{19.4}{4}=45$

Vậy $Min P=45$. Dấu "=" khi $x=y=2$

Vẫn tương tự mà, anh làm tắt hơn tí

P/s: Hồi L8 ''ngây thơ+nhỏ dại'' thi khảo sát bài này, đặt $x+y=a;xy=b$, mình lấy cả biểu thức trừ đi $45$ rồi CM nó không âm mất gần tiếng, đọc lời giải thì ngã ngửa 

[nguyenhongsonk612]

Xem lại phần đỏ

À quên $t$ mới đúng k phải $t^2$ . HIhi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 09-06-2014 - 20:03

[nguyenhongsonk612]

Cm: $x^3+y^3\geq \frac{(x+y)^3}{4}$ như nào anh

Sử dụng BĐT này cũng ra luôn nè.

$\frac{a^3}{x^2}+\frac{b^3}{y^2}\geq \frac{(a+b)^3}{(x+y)^2}$