Chủ đề này có 3 trả lời

[VuDucTung]

Cho 3 số a,b,c dương  thỏa mãn $\sum \frac{1}{1+a+b}\geq 1$

Chứng minh:$a+b+c\geq ab+bc+ac$

                     (Junior Balkan team selection test Romania)

[buitudong1998]

Cho 3 số a,b,c dương  thỏa mãn $\sum \frac{1}{1+a+b}\geq 1$

Chứng minh:$a+b+c\geq ab+bc+ac$

                     (Junior Balkan team selection test Romania)

Ta có: $(1+a+b)(c^{2}+a+b)\geqslant (a+b+c)^{2}\rightarrow 1\leqslant \sum \frac{1}{a+b+1}\leqslant \sum \frac{a+b+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}=\frac{2(a+b+c)+a^{2}+b^{2}+c^{2}}{(a+b+c)^{2}}\rightarrow ab+bc+ca\leqslant a+b+c (DPCM)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi buitudong1998: 13-06-2014 - 10:42

[KietLW9]

Cho 3 số a,b,c dương  thỏa mãn $\sum \frac{1}{1+a+b}\geq 1$

Chứng minh:$a+b+c\geq ab+bc+ac$

                     (Junior Balkan team selection test Romania)

Ta có: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\geqslant 1$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{a+b+1}+\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\leqslant 2$

Dễ có: $\frac{a+b}{a+b+1}+\frac{b+c}{b+c+1}+\frac{c+a}{c+a+1}\geqslant \frac{(a+b+b+c+c+a)^2}{(a+b)(a+b+1)+(b+c)(b+c+1)+(c+a)(c+a+1)}=\frac{4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)}{2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)+2(a+b+c)}$

Như vậy: $2\geqslant \frac{4(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)}{2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)+2(a+b+c)}\Leftrightarrow 4(a+b+c)\geqslant 4(ab+bc+ca)\Leftrightarrow a+b+c\geqslant ab+bc+ca(Q.E.D)$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

[KietLW9]

Cho 3 số a,b,c dương  thỏa mãn $\sum \frac{1}{1+a+b}\geq 1$

Chứng minh:$a+b+c\geq ab+bc+ac$

                     (Junior Balkan team selection test Romania)

Hoặc: (Chỗ dòng 2 sửa lại thành $a+ab+ac\geqslant b+bc+ba\geqslant c+ca+cb$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 04-05-2021 - 13:35