Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=2. CMR:
$\sum \frac{bc}{a^2+1}\leq 1$
TÌm max của biểu thức : A=$\sum \frac{bc}{a^2+1}\leq 1$
#1
Đã gửi 14-06-2014 - 22:26
#2
Đã gửi 14-06-2014 - 23:19
Lời giải
Giả sử c=min{a,b,c}
Ta có f(a,b,c)=$\frac{ab}{c^{2}+1}+\frac{bc}{a^{2}+1}+\frac{ac}{b^{2}+1}$
Lúc đó f(a+c,b+c,0)=ab+bc+ca+c$^{2}$
Đặt d=f(a+c,b+c,0)-f(a,b,c)=$(ab-\frac{ab}{c^{2}+1})+c(a+b+c-\frac{b}{a^{2}+1}-\frac{a}{b^{2}+1})$
Ta có $ab\geq \frac{ab}{c^{2}+1}\Rightarrow ab-\frac{ab}{c^{2}+1}\geq 0$
Bây giờ ta xẽ chứng minh a+b+c$\geq \frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{a^{2}+1}$(*)
Ta xẽ chứng minh bddt mạnh hơn (*) đó là a+b$\geq \frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{a^{2}+1}$
$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a+b)+a^{2}b+b^{2}a\geq 0$(đúng)
Vậy d$\geq 0$ do đó f(a,b,c)$\leq f(a+c,b+c,0)$ vậy ta chỉ càn chứng minh trong trường hợp c=o
Vậy ta xẽ chứng minh ab$\leq 1$ khi a+b=2 đúng do ab$\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}=1$
Kết thúc chứng minh dấu '=' xẩy ra khi hai số bắng 1 và số còn lại bằng 0
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NDP: 14-06-2014 - 23:20
$\sqrt{O}$ve math
Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow and the important thing is not to stop questioning
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh