Chủ đề này có 1 trả lời

[minhhieu070298vn]

 Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a+b+c=2. CMR:
$\sum \frac{bc}{a^2+1}\leq 1$

[NDP]

Lời giải

Giả sử c=min{a,b,c}

Ta có f(a,b,c)=$\frac{ab}{c^{2}+1}+\frac{bc}{a^{2}+1}+\frac{ac}{b^{2}+1}$

Lúc đó f(a+c,b+c,0)=ab+bc+ca+c$^{2}$

Đặt d=f(a+c,b+c,0)-f(a,b,c)=$(ab-\frac{ab}{c^{2}+1})+c(a+b+c-\frac{b}{a^{2}+1}-\frac{a}{b^{2}+1})$

Ta có $ab\geq \frac{ab}{c^{2}+1}\Rightarrow ab-\frac{ab}{c^{2}+1}\geq 0$

Bây giờ ta xẽ chứng minh a+b+c$\geq \frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{a^{2}+1}$(*)

Ta xẽ chứng minh bddt mạnh hơn (*) đó là a+b$\geq \frac{a}{b^{2}+1}+\frac{b}{a^{2}+1}$

                                   $\Leftrightarrow a^{2}b^{2}(a+b)+a^{2}b+b^{2}a\geq 0$(đúng)

Vậy d$\geq 0$ do đó f(a,b,c)$\leq f(a+c,b+c,0)$ vậy ta chỉ càn chứng minh trong trường hợp c=o

Vậy ta xẽ chứng minh ab$\leq 1$ khi a+b=2 đúng do ab$\leq \frac{(a+b)^{2}}{4}=1$

Kết thúc chứng minh dấu '=' xẩy ra khi hai số bắng 1 và số còn lại bằng 0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NDP: 14-06-2014 - 23:20