Chủ đề này có 4 trả lời

[megamewtwo]

Cho $a;b;c>0;a+b+c=3$

CMR: $\frac{a^{3}}{a+bc}+\frac{b^{3}}{b+ac}+\frac{c^{3}}{c+ab}\geq \frac{3}{2}$

[buitudong1998]

Cho $a;b;c>0;a+b+c=3$

CMR: $\frac{a^{3}}{a+bc}+\frac{b^{3}}{b+ac}+\frac{c^{3}}{c+ab}\geq \frac{3}{2}$

Ta có: $VT=\sum \frac{a^{3}}{a+bc}=\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+abc}\geqslant \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{\sum a^{2}+3abc}\geqslant \frac{(\sum a^{2})^{2}}{\sum a^{2}+3}\geqslant \frac{3}{2}$ (Vì $\sum a^{2}\geqslant 3$

[hoctrocuanewton]

Cách 2 :

Áp dụng BĐT cô si ta có :

$\sum (a^{2}+1)\geqslant 2\sum a= 6\Rightarrow \sum a^{2}\geqslant 3$

 

$a+b+c=3\geqslant 3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow 1\geqslant abc$

 

Áp dụng vào bài toán ta có :

$\sum \frac{a^{3}}{a+bc}= \sum (a^{2}-\frac{a^{2}bc}{a+bc})\geqslant \sum (a^{2}-\frac{a^{2}bc}{2\sqrt{abc}})= \sum (a^{2}-\frac{\sqrt{a^{3}bc}}{2})\geqslant \sum (a^{2}-\frac{a^{2}}{4}-\frac{abc}{4})= \sum \frac{3a^{2}}{4}-\frac{3abc}{4}\geqslant \frac{9}{4}-\frac{3}{4}= \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 16-06-2014 - 21:06

[anh1999]

ta có $\sum \frac{a^{3}}{a+bc}+\sum \frac{a+bc}{4a}\geq a+b+c=3$

mặt khác $\sum \frac{a+bc}{4a}=\frac{3}{4}+\frac{bc}{4a}+\frac{ac}{4b}+\frac{ab}{4c}\geq \frac{3}{2}$ 

=> DPCM

P/S: cách này hình như ngược dấu ai có thể sửa giùm được ko???????????????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh1999: 17-06-2014 - 13:35

[megamewtwo]

C3 : 

ta có : $a+bc=\frac{1}{3}\left ( 3a+3bc \right )= \frac{1}{3}\left ( a^{2}+ab+ac+3bc \right )\leq \frac{1}{3}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc \right )$

$\sum \left ( a-1 \right )^{2}\left ( 2a+1 \right )\geq 0\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq 3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-3$

$\sum \frac{a^{3}}{a+bc}\geq \frac{3\left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+ac+bc}\geq \frac{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )-3}{\sum a^{2}+\sum ab}\geq \frac{3}{2}$

cách này dài quá