Chủ đề này có 4 trả lời

[hoangtpf4]

Tìm x,y,z>0 thoả mãn x²+y²+z²=3xyz.Chứng minh: $\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy} \le \frac{3}{2}$

[quynhhph1]

cái này áp dụng cô-si vs dưới mẫu rồi biến đổi là ra nhá )

[nguyenhongsonk612]

Tìm x,y,z>0 thoả mãn x²+y²+z²=3xyz.Chứng minh: $P= \frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy} \le \frac{3}{2}$

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

$P\leq \frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}= \frac{1}{2}.(\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}})$

Lại áp dụng BĐT phụ sau: $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq a+b+c$, ta được:

$P\leq \frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Từ giả thiết $\Rightarrow \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}= 3$

Như vậy ta cần chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}$ là xong

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}\geq \frac{2}{z}$

$\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\geq \frac{2}{x}$

$\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}\geq \frac{2}{y}$

Cộng vế với vế các BĐT trên ta có đpcm

Dấu "="$\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 23-06-2014 - 17:21

[hoangtpf4]

cái này áp dụng cô-si vs dưới mẫu rồi biến đổi là ra nhá )

Qt à

[kanashini]

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

$P\geq \frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}= \frac{1}{2}.(\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}})$

Lại áp dụng BĐT phụ sau: $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq a+b+c$, ta được:

$P\leq \frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Từ giả thiết $\Rightarrow \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}= 3$

Như vậy ta cần chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}$ là xong

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:

$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}\geq \frac{2}{z}$

$\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\geq \frac{2}{x}$

$\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}\geq \frac{2}{y}$

Cộng vế với vế các BĐT trên ta có đpcm

Dấu "="$\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$

Thứ nhất:Sai dấu từ đầu.Phải là $P\leq...$

Thứ hai:Sau khi c.m đc $P\leqslant \frac{1}{2\sqrt{xy}}+\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{zx}}$ thì  có thể c/m tiếp ngắn hơn:

$\frac{1}{2\sqrt{xy}}+\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{zx}}\leqslant \frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\leqslant \frac{1}{2}.\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz}=\frac{3}{2}$