Tìm x,y,z>0 thoả mãn x2+y2+z2=3xyz.Chứng minh: $\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy} \le \frac{3}{2}$
$\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy} \le \frac{3}{2}$
#1
Đã gửi 17-06-2014 - 16:04
#2
Đã gửi 17-06-2014 - 17:53
cái này áp dụng cô-si vs dưới mẫu rồi biến đổi là ra nhá )
- bestmather, Dam Uoc Mo và hoangtpf4 thích
#3
Đã gửi 17-06-2014 - 18:10
Tìm x,y,z>0 thoả mãn x2+y2+z2=3xyz.Chứng minh: $P= \frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy} \le \frac{3}{2}$
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
$P\leq \frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}= \frac{1}{2}.(\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}})$
Lại áp dụng BĐT phụ sau: $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq a+b+c$, ta được:
$P\leq \frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Từ giả thiết $\Rightarrow \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}= 3$
Như vậy ta cần chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}$ là xong
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}\geq \frac{2}{z}$
$\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\geq \frac{2}{x}$
$\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}\geq \frac{2}{y}$
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có đpcm
Dấu "="$\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 23-06-2014 - 17:21
- leduylinh1998, Dam Uoc Mo, lahantaithe99 và 1 người khác yêu thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#5
Đã gửi 21-06-2014 - 22:39
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
$P\geq \frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{2y^2\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{2z^2\sqrt{xy}}= \frac{1}{2}.(\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}})$
Lại áp dụng BĐT phụ sau: $\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\leq a+b+c$, ta được:
$P\leq \frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$
Từ giả thiết $\Rightarrow \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}= 3$
Như vậy ta cần chứng minh $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}$ là xong
Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:
$\frac{x}{yz}+\frac{y}{zx}\geq \frac{2}{z}$
$\frac{y}{zx}+\frac{z}{xy}\geq \frac{2}{x}$
$\frac{z}{xy}+\frac{x}{yz}\geq \frac{2}{y}$
Cộng vế với vế các BĐT trên ta có đpcm
Dấu "="$\Leftrightarrow$ $x=y=z=1$
Thứ nhất:Sai dấu từ đầu.Phải là $P\leq...$
Thứ hai:Sau khi c.m đc $P\leqslant \frac{1}{2\sqrt{xy}}+\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{zx}}$ thì có thể c/m tiếp ngắn hơn:
$\frac{1}{2\sqrt{xy}}+\frac{1}{2\sqrt{yz}}+\frac{1}{2\sqrt{zx}}\leqslant \frac{1}{2}.(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{2}.\frac{xy+yz+zx}{xyz}\leqslant \frac{1}{2}.\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xyz}=\frac{3}{2}$
- toanc2tb và shinichikudo201 thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh