17 replies to this topic

[HoangHungChelski]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$. 
Chứng minh rằng: 

$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq 13$$

[Hoang Tung 126]

Bài này dấu = xảy ra thực sự rất khó đoán

[Nguyen Minh Hai]

Bài này dấu = xảy ra thực sự rất khó đoán

Bài này không tồn tại dấu $"="$ đâu a!   

[Hoang Tung 126]

Bài này không tồn tại dấu $"="$ đâu a!   

Vậy à ,thảo nào tìm mãi ko ra ,mà e đã có ý tưởng bài này chưa

[Nguyen Minh Hai]

Vậy à ,thảo nào tìm mãi ko ra ,mà e đã có ý tưởng bài này chưa

Em nghĩ là với $a,b,c$ dương thì biểu thức chỉ đạt MAX là 8 thôi 

[Hoang Tung 126]

Em nghĩ là với $a,b,c$ dương thì biểu thức chỉ đạt MAX là 8 thôi 

 Thế dấu =xảy ra khi nào

[diepviennhi]

 Thế dấu =xảy ra khi nào

Bất đẳng thức này thực sự chặt. cho 1 biến tiến ra biên và 2 biến chập lại nhau Vd $$a=0,b=c=1,5$$ sẽ thu được giá trị sát 13

Edited by diepviennhi, 06-07-2015 - 20:50.

[Nguyen Minh Hai]

Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$

Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao   

[dogsteven]

Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$

Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao   

Cho $a=0$ là thấy bị sai rồi.

[binhnhaukhong]

Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$

Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao   

Đề vốn là không âm tuy vậy cũng không có dấu bằng đâu em,biểu thức vế trái chỉ rất gần 13 khi 1 biến bằng không. Bài này anh nhớ là chứng minh bằng cách đồng bậc 2 vế và tương đương. Phân tích biểu thức tương đương đấy ra tổng bình phương và 1 thành phần dương. Thực sự là bài này khá chặt.

[Nguyen Huy Hoang]

Đề là các số dương... nên MAX là 8 khi $a=b=c=1$

Ta thử chứng minh $(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2) \leq 8$ xem sao   

Sao lại max là 8? Thử a=0.1, b=1, c=1.9 đã được hơn 10 rồi

[dangkhuong]

Giả sử ta đổi lại đề thành: Cho a+b+c=3. Tìm ước lượng tốt nhất P=$\prod (a+b^2)$(ở đề bài đã cho là chặn dưới 13 chưa chứng minh được)

$Đặt x=a+b^2;Đặt y=b+c^2;Đặt z=c+a^2$

Khi đó ta có x+y+z=$a^2+b^2+c^2+3$

Giả sử a$\geq b\geq c$>0

Khi đó x+y+z<22

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có P=xyz<$(\frac{22}{3})^3=\approx 394$

Vậy là ta đã hạ chặn xuống còn <$\approx$394.

Mong các bạn tiếp tục giảm ước lượng tốt hơn để bất đẳng thức đúng.

Edited by dangkhuong, 08-07-2015 - 14:56.

[chanhquocnghiem]

Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a+b+c=3$. 
Chứng minh rằng: 

$$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq 13$$

Mình nghi ngờ bài này không thể giải được bằng kiến thức THCS.Dưới đây mình sẽ giải bằng trình độ THPT.

Ta giải bài toán trong 2 TH :

A- $a,b,c$ là số dương.

B- $a,b,c$ là số không âm.

 

$A)$ $a,b,c> 0$

Đặt vế trái bất đẳng thức là $P$.Ta tìm các cực trị của $P$ trong miền :

$\left\{\begin{matrix}a+b+c=3\\a> 0\\b> 0\\c> 0 \end{matrix}\right.$

$P'_{a}=bc+c^3+3a^2(b+c^2)+2ab^2(b+c^2)> 0$ (vì $a,b,c> 0$)

Tương tự $P'_{b}> 0$ và $P'_{c}> 0$ $\Rightarrow$ không có cực trị $\Rightarrow$ không có GTLN.

 

$B)$ $a,b,c\geqslant 0$

Ta chỉ cần xét các giá trị biên (khi $a=3$ và $a=0$)

$1)$ $a=3\Rightarrow b=c=0$

   Khi đó $P=0$ (1)

$2)$ $a=0\Rightarrow b+c=3$

   Khi đó $P=b^2c(b+c^2)=b^3(3-b)+b^2(3-b)^3$

   $P'_{b}=-5b^4+32b^3-72b^2+54b$

   $P'_{b}=0\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}b=0\\5b^3-32b^2+72b-54=0 \end{matrix}\right.$

   + $b=0\Rightarrow P=0$ (2)

   + $5b^3-32b^2+72b-54=0\Rightarrow b^3-\frac{32}{5}b^2+\frac{72}{5}b-\frac{54}{5}=0$ 

   Đặt $x=b-\frac{32}{15}\Rightarrow x^3+\frac{56}{75}\ x+\frac{1694}{3375}=0$ (3)

   Gọi $y$ là số dương sao cho $x=\frac{56}{225y}-y$ ($y> 0$)

   Thay vào (3) $\Rightarrow y^6-\frac{1694}{3375}\ y^3-\frac{175616}{3375^2}=0$

   $\Rightarrow y=\frac{\sqrt[3]{1792}}{15}\Rightarrow x=\frac{56-\sqrt[3]{1792^2}}{15\sqrt[3]{1792}}$

   $\Rightarrow b=\frac{57344+56\sqrt[3]{1792^2}-\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ (4)

   $\Rightarrow c=\frac{23296-56\sqrt[3]{1792^2}+\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ (5)

   Thay (4) và (5) vào $P=b^2c(b+c^2)$ ta được $P\approx 12,76495658$ (6)

 

   So sánh (1),(2) và (6), ta có GTLN của $P$ xấp xỉ $12,76495658$

  (xảy ra khi $a=0$ ; $b=\frac{57344+56\sqrt[3]{1792^2}-\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ ; $c=\frac{23296-56\sqrt[3]{1792^2}+\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ và các hoán vị vòng tròn)

 

Tóm lại :

+ Nếu $a,b,c> 0$ thì không có GTLN.

+ Nếu $a,b,c\geqslant 0$ thì GTLN của $P$ là xấp xỉ $12,76495658$ (không phải $13$)

Edited by chanhquocnghiem, 07-07-2015 - 23:04.

[dangkhuong]

Giả sử ta đổi lại đề thành: Cho a+b+c=3. Tìm ước lượng tốt nhất P=$\prod (a+b^2)$(ở đề bài đã cho là chặn dưới 13 chưa chứng minh được)

$Đặt x=a+b^2;Đặt y=b+c^2;Đặt z=c+a^2$

Khi đó ta có x+y+z=$a^2+b^2+c^2+3$

Giả sử a$\geq b\geq c$

Khi đó x+y+z<22

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có VT bất đẳng thức<$(\frac{22}{3})^3=\approx 394$

Vậy là ta đã hạ chặn xuống còn <$\approx$394.

Mong các bạn tiếp tục giảm ước lượng tốt hơn để bất đẳng thức đúng.

Vẫn với cách làm trên mình đã hạ chặn biểu thức xuống <64.

Thật vậy ta có x+y+z= $\left ( a+b+c \right )^2-2(ab+ca+bc)+3=12-2(ab+bc+ca)< 12$(do a,b,c>0)

Do đó theo bất đẳng thức AM-GM P<$(\frac{12}{3})^3=64$

Mong các bạn tiếp tục cho chặn nhỏ hơn để bài toán ban đầu được chứng minh

Đáng chú ý là theo cách giải của anh chanhquocchiem thì nếu a,b,c>0 thì bài toán ko có max do đó ta nên đổi nó thành tìm chặn trên tốt nhất cho biểu thức VT 

Edited by dangkhuong, 08-07-2015 - 14:59.

[daotuanminh]

Cho $a=0$ là thấy bị sai rồi.

a,b,c là các số dương cơ mà.

[binhnhaukhong]

 

 

 

 

   So sánh (1),(2) và (6), ta có GTLN của $P$ xấp xỉ $12,76495658$

  (xảy ra khi $a=0$ ; $b=\frac{57344+56\sqrt[3]{1792^2}-\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ ; $c=\frac{23296-56\sqrt[3]{1792^2}+\sqrt[3]{1792^4}}{26880}$ và các hoán vị vòng tròn)

 

 

Dựa trên tính toán của anh thì ta có thể làm chặt bài toán lên thành:

 

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:

 

$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq \frac{121808+8309\sqrt[3]{28}-5936\sqrt[3]{98}}{9375}$

 

Với dấu bằng xảy ra khi $a=0,b=\frac{32-4\sqrt[3]{28}+\sqrt[3]{98}}{15},c=\frac{13+4\sqrt[3]{28}-\sqrt[3]{98}}{15}$

Edited by binhnhaukhong, 07-07-2015 - 23:31.

[binhnhaukhong]

Bài toán tương tự sau sẽ có dấu bằng tại những giá trị "đẹp" hơn:

 

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $a+b+c=\frac{3}{2}$.Chứng minh rằng:

 

$(a+b^2)(b+c^2)(c+a^2)\leq \frac{5}{8}$

 

Spoiler

Dấu bằng xảy ra khi $a=0,b=1,c=\frac{1}{2}$

[dangkhuong]

Vậy là hình như bài toán đã giải được thì phải (mặc dù ko phải cách cấp THCS).

Nếu a,b,c>0 thì chặn trên nhỏ nhất của P là bao nhiêu??????