Chủ đề này có 2 trả lời

[LNH]

$A$ là tập hợp các vectơ trong không gian $n$ chiều trên tập $\mathbb{Z}_3$ thoả mãn với mọi vectơ phân biệt $a,b \in A$, tồn tại toạ độ $i$ sao cho $b_i \equiv a_i+1\left ( mod 3 \right )$. Chứng minh rằng: $\left | A \right |\leq 2^n$

[hxthanh]

 

$A$ là tập hợp các vectơ trong không gian $n$ chiều trên tập $\mathbb{Z}_3$ thoả mãn với mọi vectơ phân biệt $a,b \in A$, tồn tại toạ độ $i$ sao cho $b_i \equiv a_i+1\left ( mod 3 \right )$. Chứng minh rằng: $\left | A \right |\leq 2^n$

 

Theo giả thiết thì nếu vecto $(a_1,a_2,...,a_i,...,a_n)\in A$ thì vecto $(a_1,a_2,...,a_i \!\!\!\mod 3,...,a_n)\not\in A$ và ngược lại.

Do đó, một cách tương đương ta có thể coi $A$ là tập các vecto $n$ chiều dạng $(a_1,a_2,...,a_n)$ trong đó $a_i\in\{0,1,2\}$

- Giả sử $B$ là tập $2^n$ vecto $(a_1,a_2,...,a_n); \; a_i\in\{0,1\}$ đều thuộc $A$, ta sẽ chứng minh rằng đây cũng là số phần tử lớn nhất của $A$.

Thật vậy giả sử $A$ chứa vecto $b(b_1,b_2,...,b_n)\not\in B$ khi đó trong dãy các tọa độ $b_1,b_2,...,b_n$ phải có một số giá trị bằng $2$, nếu thay các giá trị đó bằng $0$ thì ta được một vecto $\bar b\in B$ (đương nhiên  $\bar b\in A$) tuy nhiên điều này là mâu thuẫn vì giữa hai vecto $b$ và $\bar b$ ngoài những tọa độ tương ứng trùng nhau thì các tọa độ tương ứng còn lại sai khác nhau $2$ đơn vị.

- Do đó nếu $b\in A$ thì $\bar b\not\in A$ và ngược lại. Từ đó suy ra đpcm.

[Nxb]

Lấy một phần tử $u \in A$, có toạ độ $(u_1,..,u_n)^t$. Theo giả thiết, với một phần tử $u^{'} \in A$, trong toạ độ của nó, tồn tại toạ độ thứ i sao cho $u^{'}_i=u_i+1$ hoặc $u_i+2$. Từ đó ta có $|A| \leq 2^n+1$. Tập A không chứa vector có toạ độ $(u_1+2,..,u_n+2)^t$ vì nó với u không thoả mãn điều kiện bài toán, từ đó ta có $|A| \leq 2^n$.

Về cơ bản cũng giống với cách của anh hxthanh.

Một điều nữa là $\mathbb{Z_3}$ đã hiểu là một trường thì điều kiện đó nên viết là $b_i=a_i+1$, mình hiểu như vậy có vẻ kém tổng quát hơn, nhưng nếu không thì dùng phép đồng dư cũng được.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 26-06-2014 - 16:43