Chủ đề này có 3 trả lời

[phucryangiggs11]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{x^{2}+z^{2}}\leq 3+ \frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

[toanc2tb]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{x^{2}+z^{2}}\leq 3+ \frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

 

Mình nghĩ là không có số 3 chứ nhỉ?

[vanhuongsky]

  Khá đơn giản . Dùng bất đẳng thức cô si cho hai số  dưới mẫu như sau :

$\frac{x^{3}}{2xyz}+1= \frac{x^{2}}{2yz}+1\geq \frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}+1= \frac{1}{y^{2}+z^{2}} ; (x^{2}+y^{2}+z^{2}= 1)$

Tương tự ta sẽ có điều phải chứng minh.

[Love Inequalities]

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{y^2+z^2}+\frac{1}{x^{2}+z^{2}}\leq 3+ \frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương:

$\sum \frac{x^{2}}{y^{2}+z^{2}}\leq \sum \frac{x^{2}}{2yz}$ (Vì $\sum a^{2}=1$)

<=>$\sum \frac{x^{2}}{2yz}(y-z)^{2}> 0$ (luôn đúng)

=>đpcm