Chủ đề này có 8 trả lời

[thinhrost1]

1) Cho 1996 số lẻ đầu tiên 1;3;5;..3991 Tìm số tự nhiên k bé nhất sao cho khi chọn k số tùy ý trong 1996 số đã cho thì bao giờ cũng chọn được hai số trong k số đã chọn mà một trong hia số đó là bội của số kia

2) Chứng minh rằng mọi số lẻ không chia hết cho 5 đều là ước của một số được viết bằng toàn chữ số 1 trong hệ thập phân

3)Người ta viết dãy số 1;2;3;..1 000 000, sau đó mỗi số được thay bằng tổng các chữ số của nó. Cứ làm như vậy nhiều lần cho đến khi trong dãy chỉ có các số có một chữ số. Hỏi lúc này dãy, chữ số nào xuất hiện nhiều lần nhất?

4) Cho các số tự nhiên a,b và n biết rằng $k^n-a$ chia hết cho $k-b$ với$ k \in N^*, k  \ne b$ chứng minh $a=b^n$

5)Chứng minh rằng số nguyên dương lẻ n là lũy thừa của số nguyên tố lẻ khi và chỉ khi n-1 là số nhỏ nhất trong các số k thỏa mãn k(k+1) chia hết cho 2n

6)Tìm 1000 chữ số tận cùng của tổng: $S=1+50+50^2+..+50^{999}$ (các bác giải theo pp số học ạ )

7) Cho m và n là những số tự nhiên với $n>m\ge 1 $ trong cách viết thập phân ba chữ số tận cùng của $1978^m$ theo thứ tự bằng ba chữ số cuối cùng của $1978^n$. Tìm các số m và n sao cho tổng $m+n$ có giá trị nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 01-07-2014 - 10:35

[mnguyen99]

 

4) Cho các số tự nhiên a,b và n biết rằng $k^n-a$ chia hết cho $k-b$ với$ k \in N^*, k  \ne b$ chứng minh $a=b^n$

 

thử $3^{3}-5\vdots 3-1\Rightarrow 5=1^{3}$

Đề ko ổn.

[thinhrost1]

thử $3^{3}-5\vdots 3-1\Rightarrow 5=1^{3}$

Đề ko ổn.

sax sao kì thế nhỉ ?

 

Ta có: $k^n-b^n \vdots k-b$

 

Mặt khác: $k^n-a \vdots k-b$

 

Nên: $a-b^n \vdots k-b$ 

 

Điều này dẫn đến $a=b^n$  

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhrost1: 02-07-2014 - 15:11

[Oo Nguyen Hoang Nguyen oO]

sax sao kì thế nhỉ ?

 

Ta có: $k^n-b^n \vdots k-b$

 

Mặt khác: $k^n-a \vdots k-b$

 

Nên: $a-b^n \vdots k-b$ 

 

Điều này dẫn đến $a=b^n$  

Tại sao từ $a-b^n \vdots k-b$ lại suy ra được $a=b^n$

[nmtuan2001]

 

4) Cho các số tự nhiên a,b và n biết rằng $k^n-a$ chia hết cho $k-b$ với$ k \in N^*, k  \ne b$ chứng minh $a=b^n$

 

 

thử $3^{3}-5\vdots 3-1\Rightarrow 5=1^{3}$

Đề ko ổn.

Theo đề với mọi $k \in N^*$ thì $k^n-a$ chia hết cho $k-b$ chứ đâu phải chỉ 1 trường hợp! Đề ổn mà

 

sax sao kì thế nhỉ ?

 

Ta có: $k^n-b^n \vdots k-b$

 

Mặt khác: $k^n-a \vdots k-b$

 

Nên: $a-b^n \vdots k-b$ 

 

Điều này dẫn đến $a=b^n$  

Vì với mọi $k \in N^*$ thì $k^n-a$ chia hết cho $k-b$ nên tồn tại $\exists k$ sao cho $k-b>|a-b^n|$
Do đó $a-b^n=0$, tức là $a=b^n$

[nmtuan2001]

 

2) Chứng minh rằng mọi số lẻ không chia hết cho 5 đều là ước của một số được viết bằng toàn chữ số 1 trong hệ thập phân

 

Bài 2: Đặt 1 số lẻ bất kỳ không chia hết chọ 5 là $a$. 

Chọn $a+1$ số 1,11,111,...,$\underbrace{ 11\cdots 1}_{a+1}$

Theo nguyên lý Đi-rích-lê, tồn tại 2 số trong $a+1$ số đó đồng dư mod $a$

$\Rightarrow$ Hiệu $\vdots$ $a$

Giả sử 2 số đó là $\underbrace{11\cdots 1}_{m}$ và $\underbrace{11\cdots 1}_{n}$ với $m>n$

Ta có $\underbrace{11\cdots 1}_{m} - \underbrace{11\cdots 1}_{n} \vdots a$

$\rightarrow$ $\underbrace{11\cdots 1}_{m-n}\underbrace{00 \cdots 0}_{n} \vdots a$

Tức là $\underbrace{11\cdots 1}_{m-n} \times 10^n \vdots a$

Do $a$ không chia hết cho 5 nên $\underbrace{11\cdots 1}_{m-n} \vdots a$ 

Từ đó ta có đpcm

[nmtuan2001]

3)Người ta viết dãy số 1;2;3;..1 000 000, sau đó mỗi số được thay bằng tổng các chữ số của nó. Cứ làm như vậy nhiều lần cho đến khi trong dãy chỉ có các số có một chữ số. Hỏi lúc này dãy, chữ số nào xuất hiện nhiều lần nhất?

Bài 3: Kí hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Ta có $S(n) \equiv n$ (mod 9).

Do đó sau khi thay $n$ bằng $S(n)$ thì số dư khi chia cho 9 là không đổi.

$\Rightarrow$ Kết quả cuối cùng là các số có 1 chữ số là số dư của số ban đầu khi chia 9.

Mà số đầu và số cuối của dãy chia 9 dư 1 nên số dư 1 là nhiều nhất.

Tức là chữ số 1 xuất hiện nhiều nhất. 

[thinhrost1]

Bài 3: Kí hiệu $S(n)$ là tổng các chữ số của $n$. Ta có $S(n) \equiv n$ (mod 9).

Do đó sau khi thay $n$ bằng $S(n)$ thì số dư khi chia cho 9 là không đổi.

$\Rightarrow$ Kết quả cuối cùng là các số có 1 chữ số là số dư của số ban đầu khi chia 9.

Mà số đầu và số cuối của dãy chia 9 dư 1 nên số dư 1 là nhiều nhất.

Tức là chữ số 1 xuất hiện nhiều nhất. 

Sao " số đầu và số cuối của dãy chia 9 dư 1 nên số dư 1 là nhiều nhất"

 

Cái này thầy mình có giải cách này nhưng chưa hiểu lắm:

 

Trong 1000000 số nguyên dương đầu tiên có 111111 số khi chia cho 9  dư r ( $2  \le g \le 9$) và có 111112 số chia 9 dư 1

 

Cái mình không hiểu ở đây là sao "Trong 1000000 số nguyên dương đầu tiên có 111111 số khi chia cho 9  dư r ( $2  \le g \le 9$) và có 111112 số chia 9 dư 1"

[nmtuan2001]

Sao " số đầu và số cuối của dãy chia 9 dư 1 nên số dư 1 là nhiều nhất"

 

Cái này thầy mình có giải cách này nhưng chưa hiểu lắm:

 

Trong 1000000 số nguyên dương đầu tiên có 111111 số khi chia cho 9  dư r ( $2  \le g \le 9$) và có 111112 số chia 9 dư 1

 

Cái mình không hiểu ở đây là sao "Trong 1000000 số nguyên dương đầu tiên có 111111 số khi chia cho 9  dư r ( $2  \le g \le 9$) và có 111112 số chia 9 dư 1"

Bạn tính thôi:

r=0 thì các số đó là 9,18,...,999999, có (999999-9):9+1=111111

r=1 thì các số đó là 1,10,...,1000000, có (1000000-1):9+1=111112

........

Cứ thế ta được như thầy bạn nói