Chủ đề này có 1 trả lời

[Melodyy]

Cho đa thức $P(x)\in Z$ và $x_{1};x_{2};x_{3}$ lần lượt là các nghiệm nguyên của phương trình $P(x)=1;P(x)=2;P(x)=3$ Cmr $x_{1};x_{2};x_{3}$ là nghiệm duy nhất của mỗi pt trên

[LuoiHocNhatLop]

Vì pt P(x)=2 có 1 nghiệm là $x_{2}$ nên $P(x)=(x-x_{2}).Q(x)+2$
Cho $x=x_{1}\Rightarrow  1=(x_{1}-x_{2}).Q(x)+2\Rightarrow (x_{1}-x_{2}).Q(x)=-1$ (1)

Cho $x=x_{3}\Rightarrow 3=(x_{3}-x_{2}).Q(x)+2\Rightarrow (x_{3}-x_{2}).Q(x)=1$    (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được $(x_{1}+x_{3}-2x_{2})=0 \Rightarrow x_{2}=\frac{x_{1}+x_{3}}{2}$

Giả sử pt P(x)=2 còn một nghiệm nguyên $x'_{2}\neq x_{2}$

Lập luận tương tự ta cũng đc $x'_{2}=\frac{x_{1}+x_{3}}{2}$

Khi đó $x'_{2}=x_{2}$ vô lí
Vậy x2 là nghiệm duy nhất của pt P(x)=2
Tương tự đối với x1 và x3