Chủ đề này có 2 trả lời

[conglb]

Cho a,b,c là số thức dương thỏa mãn: $$b^{2}+c^{2}\leq a^{2}$$

Tìm min của $P=\frac{1}{a^{2}}(b^{2}+c^{2})+a^{2}(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$

[lahantaithe99]

Cho a,b,c là số thức dương thỏa mãn: $$b^{2}+c^{2}\leq a^{2}$$

Tìm min của $P=\frac{1}{a^{2}}(b^{2}+c^{2})+a^{2}(\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$

 

Áp dụng BĐT $AM-GM$

 

$P=\frac{b^2+c^2}{a^2}+\frac{a^2(b^2+c^2)}{4b^2c^2}+\frac{a^2(b^2+c^2)}{4b^2c^2}+\frac{a^2(b^2+c^2)}{4b^2c^2}+\frac{a^2(b^2+c^2)}{4b^2c^2}$

 

$\geqslant 5\sqrt[5]{\frac{a^6(b^2+c^2)^5}{4^4b^8c^8}}\geqslant 5\sqrt[5]{\frac{(b^2+c^2)^8}{a^4b^8c^8}}\geqslant 5\sqrt[5]{\frac{(2bc)^8}{4^4b^8c^8}}=5$

 

(do $a^2\geqslant b^2+c^2$ và $b^2+c^2\geqslant 2bc$)

 

Dấu $=$ xảy ra khi $2b^2=2c^2=a^2$

[bestmather]

$P=(\frac{a^2}{b^2}+\frac{4b^2}{a^2})+(\frac{a^2}{c^2}+\frac{4c^2}{a^2})-\frac{3(b^2+c^2)}{a^2}\geq 4+4-3=5$

dấu (=) xảy ra khi $2b^2=2c^2=a^2$