Chủ đề này có 6 trả lời

[caybutbixanh]

Bài 1: với $a,b,c$  không âm, chứng minh :

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2} +2) \geq 9 (ab+bc+ca)$

(APMO-2004)

Bài 2: Với $x,y,z$ dương, chứng minh :

$\sum _{cyc}\sqrt{\frac{(x+y)^{3}}{8xy(4x+4y+z)}}\geq 1$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi caybutbixanh: 07-07-2014 - 19:47

[25 minutes]

Bài 1: với $a,b,c$  không âm, chứng minh :

Bài 1 tham khảo tại đây 

Bài 2: Có vẻ đề bài sai khi không phải bất đẳng thức đồng bậc, lại không có điều kiện gì   

[caybutbixanh]

Bài 1 tham khảo tại đây 

Bài 2: Có vẻ đề bài sai khi không phải bất đẳng thức đồng bậc, lại không có điều kiện gì   

Bài 2 : Đã sửa theo đúng đề .....$x,y,z$ là các số dương anh.....

[buitudong1998]

Bài 1: với $a,b,c$  không âm, chứng minh :

$(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2} +2) \geq 9 (ab+bc+ca)$

(APMO-2004)

Bài 2: Với $x,y,z$ dương, chứng minh :

$\sum _{cyc}\sqrt{\frac{(x+y)^{3}}{8xy(4x+4y+z)}}\geq 1$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Làm mạnh bài số 1:

Ta chứng minh BĐT: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}$

Thật vậy:

Theo Cauchy-Schwartz: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)=(a^{2}+1)(b^{2}+1)+a^{2}+b^{2}+3\geqslant (a+b)^{2}+\frac{1}{2}(a+b)^{2}+3=\frac{3}{2}\left [ (a+b)^{2} +2\right ]\Rightarrow VT\geqslant \frac{3}{2}\left [ (a+b)^{2}+2 \right ](c^{2}+2)\geqslant \frac{3}{2}(\sqrt{2}(a+b)+\sqrt{2}c)^{2}=VP(DPCM)$

[tap lam toan]

 

Bài 2: Với $x,y,z$ dương, chứng minh :

$\sum _{cyc}\sqrt{\frac{(x+y)^{3}}{8xy(4x+4y+z)}}\geq 1$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Đặt $$P=VT=\sqrt{\frac{(x+y)^{3}}{8xy(4x+4y+z)}}+\sqrt{\frac{(y+z)^{3}}{8yz(4y+4z+x)}}+\sqrt{\frac{(z+x)^{3}}{8zx(4z+4x+y)}}$$

Và $Q=8xy\left ( 4x+4y+z \right )+8yz(4y+4z+x)+8zx(4z+4x+y)$
Sử dụng bất đẳng thức Holder, ta có
$$P^{2}Q\geq 8(x+y+z)^{3}\geq Q\Leftrightarrow $$
$$\left ( x+y+z \right )^{3}\geq \sum _{cyc}xy\left ( 4x+4y+z \right )=4\sum xy(x+y)+3xyz$$
Có $\left ( x+y+z \right )^{3}=x^{3}+y^{3}+z^{3}+3\sum xy\left ( x+y \right )+6xyz$
Do đó ta chỉ còn chứng minh $x^{3}+y^{3}+z^{3}+3xyz\geq xy\left ( x+y \right )+yz\left ( y+z \right )+zx\left ( z+x \right )$
Là bđt Schur bậc ba

[hoangson2598]

Làm mạnh bài số 1:

Ta chứng minh BĐT: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)(c^{2}+2)\geqslant 3(a+b+c)^{2}$

Thật vậy:

Theo Cauchy-Schwartz: $(a^{2}+2)(b^{2}+2)=(a^{2}+1)(b^{2}+1)+a^{2}+b^{2}+3\geqslant (a+b)^{2}+\frac{1}{2}(a+b)^{2}+3=\frac{3}{2}\left [ (a+b)^{2} +2\right ]\Rightarrow VT\geqslant \frac{3}{2}\left [ (a+b)^{2}+2 \right ](c^{2}+2)\geqslant \frac{3}{2}(\sqrt{2}(a+b)+\sqrt{2}c)^{2}=VP(DPCM)$

? Đề bài có yêu cầu vậy đâu bạn?

http://cuoichutdi.wo...thuc-apmo-2004/

[25 minutes]

Làm mạnh bài số 1:

Làm mạnh hơn nữa bài số $1$
Ta chứng minh được $(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geqslant 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)$

? Đề bài có yêu cầu vậy đâu bạn

Không yêu cầu nhưng làm mạnh cũng có ý tốt mà :-)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Toc Ngan: 07-07-2014 - 23:04