Cho $ x,y,z.$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy+yz+zx=5$
Tìm GTNN của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+z^{3}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Inequalities: 10-07-2014 - 23:02
bài này sao mà tìm được GTLN nhỉ
chúng tôi là 3 người từ lớp 10 cá tính:NRC,NTP,A-Q
Cho $ x,y,z.$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy+yz+zx=5$
Tìm GTNN của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+z^{3}$
dùng cosi
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sum xy=5$
dấu đẳng thức $x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}$
THCS NGUYỄN DUY,PHONG ĐIỀN$\Rightarrow$THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ$\Rightarrow$???
TẬP LÀM THÁM TỬ TẠI ĐÂY http://diendantoanho...ám/#entry513026
dùng cosi
$x^{2}+y^{2}+z^{2}\geq \sum xy=5$
dấu đẳng thức $x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}$
Bạn nhìn kĩ vào, là $z^{3}$, chứ $z^{2}$ thì đơn giản quá
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Love Inequalities: 11-07-2014 - 17:07
Cho $ x,y,z.$ là các số thực dương thỏa mãn: $xy+yz+zx=5$
Tìm GTNN của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+z^{3}$
Bạn kiếm đâu ra bài này mà hay thế!
Giải:
Giả sử khi $P$ đạt min thì $x=y=a>0;z=b>0$. Từ giả thiết $\Rightarrow a^2+2ab=5$
Khi đó $bx=by=az$
Áp dụng BĐT $AM-GM$, ta có:
$xy\leq \frac{x^2+y^2}{2}\Leftrightarrow 2ab^2.xy\leq ab^2x^2+ab^2y^2$ $(1)$
$byaz\leq \frac{b^2y^2+a^2z^2}{2}\Leftrightarrow ab^2.yz\leq \frac{b^3y^2+a^2z^3}{2}\Leftrightarrow b^3y^2+a^2z^3\geq 2ab^2yz$ $(2)$
$azbx\leq \frac{a^2z^2=b^2x^2}{2}\Leftrightarrow ab^2xz\leq \frac{a^2z^3+b^3x^2}{2}\Leftrightarrow a^2z^3+b^3x^2\geq 2ab^2xz$ $(3)$
Cộng vế với vế các BĐT $(1),(2)$ và $(3)$, ta được:
$(ab^2+b^3)(x^2+y^2)+2a^2z^3\geq 2ab^2(xy+yz+zx)= 10ab^2$ $(4)$
Đến đây ta cần chọn số $a,b$ sao cho $ab^2+b^3=2a^2$
Khi đó, BĐT $(4)$ $\Leftrightarrow P(ab^2+b^3)\geq 10ab^2\Leftrightarrow P\geq \frac{10ab^2}{ab^2+b^3}=\frac{10ab^2}{2a^2}=\frac{5b^2}{a}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} a^2+2ab=5 & & \\ ab^2+b^3=2a^2 & & \end{matrix}\right.$
Giải hệ pt này bằng cách sau:
Từ pt đầu rút $b=\frac{5-a^2}{2a}$. Thay vào pt thứ hai ta được pt: $a^6-16a^5-5a^4-25a^2+125=0$
Giải pt này (bằng máy tính) ta được nghiệm là $a\approx1,342\Rightarrow b\approx1,192$
Từ đó suy ra $\Rightarrow P\geq 5,2954717$
Vậy $P$ min $=5,2954717$. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=y=a\approx 1,342;z=b\approx 1,192$
P/s: Bài số lẻ quá!
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh