Chủ đề này có 1 trả lời

[Nguyễn Hoàng Hảo]

Cho x,y,z dương thoả mãn  $x+y\leq z$

CMR : $(x^{2}+y^{2}+z^{2})(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}})\geq \frac{27}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 11-07-2014 - 17:13

[tap lam toan]

Ta có đánh giá $\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}\geq \dfrac{2}{xy}\geq \dfrac{8}{(x+y)^{2}}$
$$\Rightarrow VT\geq \left [ \frac{(x+y)^{2}}{2}+z^{2} \right ]\left [ \frac{8}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{z^{2}} \right ]=4+\frac{(x+y)^{2}}{2z^{2}}+\frac{8z^{2}}{(x+y)^{2}}+1$$
$$=5+\frac{(x+y)^{2}}{2z^{2}}+\frac{z^{2}}{2(x+y)^{2}}+\frac{15z^{2}}{2(x+y)^{2}}\geq 5+1+\frac{15}{2}=\frac{27}{2}$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=\dfrac{z}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 11-07-2014 - 18:30