Chủ đề này có 4 trả lời

[linhdan611]

1. cho a,b,c>0. chứng minh: $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geqslant 6$

2.cho x,y thỏa mãn: xy>1. chứng minh: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

[lahantaithe99]

1. cho a,b,c>0. chứng minh: $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geqslant 6$

2.cho x,y thỏa mãn: xy>1. chứng minh: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

 

1. Áo dụng $AM-GM$

 

$Vt\geqslant 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}}$

 

Mà $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ac}=8abc$

 

$\Rightarrow Vt\geqslant 3\sqrt[3]{8}=6$

 

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c>0$

 

2. Thực hiện biến đổi tương đương thôi

[CHU HOANG TRUNG]

2.cho x,y thỏa mãn: xy>1. chứng minh: $\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}\geqslant \frac{2}{1+\sqrt{xy}}$

$\Leftrightar\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}-\frac{2}{1+\sqrt{xy}}\geq 0\Leftrightarrow \frac{(1+y)(1+\sqrt{xy})+(1+x)(1+\sqrt{xy})-2(1+x)(1+y)}{(1+x)(1+y)(1+\sqrt{xy})}\geq 0\Leftrightarrow 1+y+\sqrt{xy}+y\sqrt{xy}+1+x+\sqrt{xy}+x\sqrt{xy}-2-2x-2y-2xy\geq 0\Leftrightarrow 2\sqrt{xy}-2xy+(x+y)\sqrt{xy}-x-y\geq 0\Leftrightarrow -(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+\sqrt{xy}(x+y-2\sqrt{xy})\geq 0\Leftrightarrow -(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2+\sqrt{xy}(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0\Leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y})^2(\sqrt{xy}-1)\geq 0$(Luôn đúng do  $(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geq 0 và \sqrt{xy}-1 >0$)

[Dinh Xuan Hung]

1. cho a,b,c>0. chứng minh: $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geqslant 6$

AD bdt co-si ta dc$\left\{\begin{matrix} a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc} & & \\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}& & \end{matrix}\right.\Rightarrow \left ( a+b+c\right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9\sqrt[3]{abc\times \frac{1}{abc}}\Rightarrow \left ( a+b+c\right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )\geq 9\Rightarrow \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}+1+1+1\geq 9\Rightarrow\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geq 6$(dpcm).

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

[Mikhail Leptchinski]

1. cho a,b,c>0. chứng minh: $\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\geqslant 6$

Mình xin trình bày cách khác nhé

VT=$\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\geq 2+2+2=6$