Chủ đề này có 2 trả lời

[caybutbixanh]

Cho dãy số $(x_{n})$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện :

1,$x_{1}=2$

2,$x_{n}=\dfrac{x_{1}+2x_{2}+....+(n-1)x_{n-1}}{n(n^{2}-1)}(n>1,n\in\mathbb{N})$

Tính $\lim u_{n}$ với $u_{n}=(n+1)^{3}.x_{n}$

[supermember]

Bài này cần xài liên tiếp 2 dãy phụ:

 

$ y_n = n \cdot x_n$

 

$ b_n = \sum_{k=1}^{n} y_n$

 

$ \implies b_{n} - b_{n-1} = \frac{ b_{n-1}}{ n^2-1}$

 

$ \implies b_n = \frac{n^2 b_{n-1}}{n^2-1}    \ \ (*)$

 

Từ đẳng thức $(*)$ , nếu ta sử dụng lặp nhiều lần xuống thang liên tiếp sẽ tính được $b_n$ theo $n$

 

Từ đó dựng tường minh ra được $ u_n = (n+1)^3 x_n$ theo $n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 17-07-2014 - 13:03

[LuoiHocNhatLop]

Cho dãy số $(x_{n})$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện :

1,$x_{1}=2$

2,$x_{n}=\dfrac{x_{1}+2x_{2}+....+(n-1)x_{n-1}}{n(n^{2}-1)}(n>1,n\in\mathbb{N})$

Tính $\lim u_{n}$ với $u_{n}=(n+1)^{3}.x_{n}$

từ giả thiết ta có : 

$(n-1)n(n+1)x_n=x_1+2x_2+...+(n-1)x_{n-1}$

$\Rightarrow n(n-1)(n-2)x_{n-1}$

$=x_1+2x_2+...+(n-1)x_{n-1}+(n-2)x_{n-2}$

$\Rightarrow (n-1)n(n+1)x_n-n(n-1)(n-2)x_{n-1}=(n-1)x_{n-1}$

$\Rightarrow (n-1)n(n+1)x_n=(n-1)^3x_{n-1}$

$\Rightarrow x_n=\frac{(n-1)^2}{n(n+1)}x_{n-1}$

$=\frac{(n-1)^2}{n(n+1)}.\frac{(n-2)^3}{(n-1)n}x_{n-2}$

$=\frac{(n-1)^2}{n(n+1)}.\frac{(n-2)^3}{(n-1)n}.\frac{(n-3)^2}{(n-2)(n-1)}x_{n+3}=...=\frac{4}{n^2(n+1)}$

$\Rightarrow limu_n=4\left (\frac{n+1}{n}  \right )^2=4$

Không biết t có tính nhầm chỗ nào ko nữa