Chủ đề này có 7 trả lời

[Viet Hoang 99]

$1)$ Giả sử $a;b$ nguyên dương thay đổi và thỏa mãn: $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$. Tìm Max

$$P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$$

 

$2)$ Giả sử $x;y;z>0$ thay đổi và thỏa mãn: $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$. Tìm Max

$$P=\frac{z^4}{1+z^4\left(x^4+y^4\right)}$$

[bestmather]

$1)$ Giả sử $a;b$ nguyên dương thay đổi và thỏa mãn: $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$. Tìm Max

$$P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$$

 

$2)$ Giả sử $x;y;z>0$ thay đổi và thỏa mãn: $xy^2z^2+x^2z+y=3z^2$. Tìm Max

$$P=\frac{z^4}{1+z^4\left(x^4+y^4\right)}$$

2/

Do z>0 nên GT$\Leftrightarrow xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3$ và $P=\frac{1}{\frac{1}{z^4}+x^4+y^4}$

Đặt $x=a;y=b;\frac{1}{z}=c$ $\Rightarrow ab^2+bc^2+ca^2=3;P=\frac{1}{a^4+b^4+c^4}$

Áp dụng BĐT cauchy : $a^4+b^4+b^4+1\geq 4ab^2$ $\Rightarrow a^4+b^4+c^4\geq 3\Rightarrow MaxP=\frac{1}{3}$ khi x=y=z=1

[NMDuc98]

[Trang Luong]

$1)$ Giả sử $a;b$ nguyên dương thay đổi và thỏa mãn: $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$. Tìm Max

$$P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$$

 

• Với $a$ hoặc $b=1$ $\Rightarrow P=1$
• Ta có : $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}\Rightarrow 2ab+2< 3a+3b\Rightarrow 2ab+2-3a-3b<0\Leftrightarrow a\left ( 2b-3 \right )+2-3b< 0\Rightarrow 2a\left ( 2b-3 \right )+4-6b<0\Leftrightarrow 2a\left ( 2b-3 \right )-3\left (2b-3 \right )<5\Leftrightarrow \left ( 2a-3 \right )\left ( 2b-3 \right )<5\Rightarrow 0<2a-3,2b-3<5$$\Rightarrow 2\leq a,b\leq 4$

Giả sử $a\leq b\Rightarrow a=2\Rightarrow b\in\left \{ 2;3;4 \right \}$

Với $a=2,b=2\Rightarrow P=\frac{65}{16}$

Với $a=2,b=3\Rightarrow P=\frac{31}{5}$

Với $a=2,b=4\Rightarrow P=\frac{57}{8}$

$\Rightarrow P_{max}=\frac{57}{8}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 20-07-2014 - 19:56

[nguyenhongsonk612]

Ta có : $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}\Rightarrow 2ab+2< 3a+3b\Rightarrow 2ab+2-3a-3b<0\Leftrightarrow a\left ( 2b-3 \right )+2-3b< 0\Rightarrow 2a\left ( 2b-3 \right )+4-6b<0\Leftrightarrow 2a\left ( 2b-3 \right )-3\left (2b-3 \right )<5\Leftrightarrow \left ( 2a-3 \right )\left ( 2b-3 \right )<5\Rightarrow$ $0<2a-3,2b-3<5$$\Rightarrow 2\leq a,b\leq 4$

Giả sử $a\leq b\Rightarrow a=2\Rightarrow b\in\left \{ 2;3;4 \right \}$

Với $a=2,b=2\Rightarrow P=\frac{65}{16}$

Với $a=2,b=3\Rightarrow P=\frac{31}{5}$

Với $a=2,b=4\Rightarrow P=\frac{57}{8}$

$\Rightarrow P_{max}=\frac{57}{8}$

Chỗ này như thế nào vậy TL?

[Trang Luong]

Chỗ này như thế nào vậy TL?

Vì $a,b$ là các số nguyên dương gì nên $2a-3,2b-3$ là các số nguyên

[nguyenhongsonk612]

Vì $a,b$ là các số nguyên dương gì nên $2a-3,2b-3$ là các số nguyên

Tớ hỏi cái chỗ tại sao nó lại $>0$ được cơ.

 

P/s:TL Đã sửa 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 20-07-2014 - 19:57

[chanhquocnghiem]

$1)$ Giả sử $a;b$ nguyên dương thay đổi và thỏa mãn: $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}$. Tìm Max

$$P=\frac{a^3b^3+1}{a^3+b^3}$$

 

 

 

 

 

• Với $a$ hoặc $b=1$ $\Rightarrow P=1$
• Ta có : $\frac{ab+1}{a+b}<\frac{3}{2}\Rightarrow 2ab+2< 3a+3b\Rightarrow 2ab+2-3a-3b<0\Leftrightarrow a\left ( 2b-3 \right )+2-3b< 0\Rightarrow 2a\left ( 2b-3 \right )+4-6b<0\Leftrightarrow 2a\left ( 2b-3 \right )-3\left (2b-3 \right )<5\Leftrightarrow \left ( 2a-3 \right )\left ( 2b-3 \right )<5\Rightarrow 0<2a-3,2b-3<5$$\Rightarrow 2\leq a,b\leq 4$

Giả sử $a\leq b\Rightarrow a=2\Rightarrow b\in\left \{ 2;3;4 \right \}$

Với $a=2,b=2\Rightarrow P=\frac{65}{16}$

Với $a=2,b=3\Rightarrow P=\frac{31}{5}$

Với $a=2,b=4\Rightarrow P=\frac{57}{8}$

$\Rightarrow P_{max}=\frac{57}{8}$

 

 

TL sai lầm từ chỗ $\left ( 2a-3 \right )\left ( 2b-3 \right )< 5$ 

Xin giải tiếp như sau :

Giả sử $a\leqslant b\Rightarrow -1\leqslant 2a-3\leqslant 2b-3$ (vì $a,b$ nguyên dương)

+ Nếu $2a-3=-1\Rightarrow a=1\Rightarrow P=1$ (1)

+ Nếu $2a-3=1\Rightarrow a=2$ :

   - Nếu $2b-3=1$ ($b=2$) $\Rightarrow P=\frac{65}{16}$ (2)

   - Nếu $2b-3=3$ ($b=3$) $\Rightarrow P=\frac{31}{5}$ (3)

 

So sánh (1),(2),(3) $\Rightarrow P_{max}=\frac{31}{5}$