Chủ đề này có 3 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. CMR:
$$\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}\leq \frac{1}{abcd}$$ 

[phamquanglam]

Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $a+b+c+d=4$. CMR:
$$\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3}+\frac{1}{d+3}\leq \frac{1}{abcd}$$ 

Mạng chậm thế không biết nữa!

Ta có: $4\sqrt[4]{abcd}\leq (a+b+c+d)\Rightarrow abcd\leq 1$

Ta lại có:

$\frac{1}{a+3}=\frac{1}{a+1+1+1}\leq \frac{1}{a+abcd+abcd+abcd}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{3}{abcd})$

CMTT cho 3 số còn lại.

Vậy ta thu được sau khi cộng hết vế với nhau là:

$\sum \frac{1}{a+3}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+\frac{3}{4abcd}\leq \frac{abc+abd+acd+bcd}{16abcd}+\frac{3}{4abcd}\leq \frac{1}{4abcd}+\frac{3}{4abcd}=\frac{1}{abcd}$

[canhhoang30011999]

Mạng chậm thế không biết nữa!

Ta có: $4\sqrt[4]{abcd}\leq (a+b+c+d)\Rightarrow abcd\leq 1$

Ta lại có:

$\frac{1}{a+3}=\frac{1}{a+1+1+1}\leq \frac{1}{a+abcd+abcd+abcd}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{3}{abcd})$

CMTT cho 3 số còn lại.

Vậy ta thu được sau khi cộng hết vế với nhau là:

$\sum \frac{1}{a+3}\leq \frac{1}{16}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d})+\frac{3}{4abcd}\leq \frac{abc+abd+acd+bcd}{16abcd}+\frac{3}{4abcd}\leq \frac{1}{4abcd}+\frac{3}{4abcd}=\frac{1}{abcd}$

tại sao $\frac{abc+abd+acd+bcd}{16abcd}\leq \frac{1}{4abcd}$ anh giải thích rõ được ko

[PolarBear154]

tại sao $\frac{abc+abd+acd+bcd}{16abcd}\leq \frac{1}{4abcd}$ anh giải thích rõ được ko

Là thế này:

$abc+bcd+cda+dab=ab(c+d)+cd(a+b)\leq \frac{(a+b)^{2}(c+d)}{4}+\frac{(c+d)^{2}(a+b)}{4}=\frac{(a+b)(c+d)(a+b+c+d)}{4}\leq \frac{1}{4}(a+b+c+d)^{2}.\frac{a+b+c+d}{4}= \frac{(a+b+c+d)^{3}}{16}=\frac{4^{3}}{16}=4$

Ở đây ta áp dụng BĐT quen thuộc:

$xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$ để chuyển từ tích về tổng.