Chủ đề này có 6 trả lời

[nguyenhien2000]

CMR: (1 + a)(1 + b)(1 + c) $\geqslant(1+\sqrt[3]{abc})^{3}$

[mnguyen99]

CMR: (1 + a)(1 + b)(1 + c) $\geqslant(1+\sqrt[3]{abc})^{3}$

áp dụng holder

$(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+a)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+b)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+c)\geq (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\sqrt[3]{abc})^{3}=(1+\sqrt[3]{abc})^{3}$

[thinhrost1]

Sử dụng bđt AM-GM:
 

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge \frac{3}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

 

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge \frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Cộng vế theo vế 2 bđt trên ta có
 

$3\ge \frac{3(\sqrt[3]{abc}+1)}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

 

$\Rightarrow (1+a)(1+b)(1+c)\ge (1+\sqrt[3]{abc})^3$

 

Dấu đằng thức xảy ra khi $a=b=c$

 

Cái này là hệ quả của bdt Holder thôi

[nguyenhongsonk612]

Sử dụng bđt AM-GM:
 

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\ge \frac{3}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

 

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge \frac{3\sqrt[3]{abc}}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Cộng vế theo vế 2 bđt trên ta có
 

$3\ge \frac{3(\sqrt[3]{abc}+1)}{\sqrt[3]{(1+a)(1+b)(1+c)}}$

 

$\Rightarrow (1+a)(1+b)(1+c)\ge (1+\sqrt[3]{abc})^3$

 

Dấu đằng thức xảy ra khi $a=b=c$

 

Cái này là hệ quả của bdt Holder thôi

Tại sao bài này lại áp dụng $AM-GM$ bạn. Điều kiện có cho $a,b,c$ không âm đâu

[khanghaxuan]

áp dụng holder

$(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+a)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+b)(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+c)\geq (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\sqrt[3]{abc})^{3}=(1+\sqrt[3]{abc})^{3}$

Bạn có thể ghi BDT holder ra được khôg?

[thinhrost1]

Tại sao bài này lại áp dụng $AM-GM$ bạn. Điều kiện có cho $a,b,c$ không âm đâu

Phải không âm mới đúng

[CHU HOANG TRUNG]

B

 

Bạn có thể ghi BDT holder ra được khôg?

Bất đẳng thức Holder :

 Cho 2 bộ số

$\left\{\begin{matrix}

a_1;a_2;...;a_n\in Z^+ &  & \\ 

b_1;b_2;...;b_n \in Z ^+ &  & 

\end{matrix}\right. $

$p,q \in Z^+$ sao cho $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ Khi đó ta có 

$(a_1^p+a_2^p+...+a_n^p)^{\frac{1}{p}}(b_1^q+b_2^q+...+b_n^q)^{\frac{1}{q}}\geq a_1b_1+a_2b_2+...+a_nb_n$