Cho hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
- $f\left ( 2 \right )=2$
- $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right ).f(n)$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$, $(m,n)=1$
- $f(m)<f(n)$ với mọi $m<n$.
Hãy tìm $f(3)$ và $f(2014)$
Cho hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
Hãy tìm $f(3)$ và $f(2014)$
Cho hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
- $f\left ( 2 \right )=2$
- $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right ).f(n)$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$, $(m,n)=1$
- $f(m)<f(n)$ với mọi $m<n$.
Hãy tìm $f(3)$ và $f(2014)$
Chọn n=1 ta có \[f(1) = f(1.1) = f(1).f(1) \Rightarrow f(1) = 1\]
Ta cm \[f(n) = n,\forall n \in {\rm N}^* \]
ta thấy với n=1, n=2 thì khẳng định là đúng
giả sử khẳng định đúng tới \[n = k,k \ge 2\]
ta cần cm \[f(k + 1) = k + 1\]
Th1: nếu k lẻ thì k+1 chẵn suy ra
Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like
Không ngừng vươn xa
Chọn n=1 ta có \[f(1) = f(1.1) = f(1).f(1) \Rightarrow f(1) = 1\]
Ta cm \[f(n) = n,\forall n \in {\rm N}^* \]
ta thấy với n=1, n=2 thì khẳng định là đúng
giả sử khẳng định đúng tới \[n = k,k \ge 2\]
ta cần cm \[f(k + 1) = k + 1\]
Th1: nếu k lẻ thì k+1 chẵn suy ra
\[f(k + 1) = f(2.\frac{{k + 1}}{2}) = f(2).f(\frac{{k + 1}}{2}) = k + 1\]Th2 : nếu k chẵn thì k+2 chẵn mà \[\frac{{k + 2}}{2} \le k \Rightarrow f(\frac{{k + 2}}{2}) = \frac{{k + 2}}{2}\]ta có \[f(k + 2) = f(\frac{{k + 2}}{2}.2) = f(2).f(\frac{{k + 2}}{2}) = k + 2\]lại có \[k = f(k) < f(k + 1) < f(k + 2) = k + 2 \Rightarrow f(k + 1) = k + 1\]Vậy theo nguyên lí quy nạp thì khẳng định là đúng
Bài làm của bạn sai ngay từ dòng đầu và sai cả bước quy nạp
Bài làm của bạn sai ngay từ dòng đầu và sai cả bước quy nạp
mình sai ở đâu nhỉ , bạn xem lại rồi chỉ rõ dùm
Hình như bài này ở đề TST của Puerto Rico năm 2012
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 28-07-2014 - 11:35
Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like
Không ngừng vươn xa
mình sai ở đâu nhỉ , bạn xem lại rồi chỉ rõ dùm
Hình như bài này ở đề TST của Puerto Rico năm 2012
Bước đầu từ $f(1)=\left (f(1) \right )^{2}$ ko thể suy ra ngay được $f(1)=1$
Bước quy nạp theo GTQN thì bạn có $f(k)=k$ chứ bạn ko hề có $f(\frac{k+2}{2})=\frac{k+2}{2}$ vả lại để dùng được dữ kiện thứ 2 thì $(m,n)=1$. Trong trường hợp này chúng ta không chắc được $\left ( 2,\frac{k+2}{2} \right )=1$. Và đoạn sau mình đọc ko hiểu những bước suy ra, ta có là thế nào?
Có thể xem thêm ở đây, VD 2 trang 7 nhé. Tuy nhiên bài này có điều kiện $(m,n)=1$ nên sẽ khó hơn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 28-07-2014 - 13:22
Bước đầu từ $f(1)=\left (f(1) \right )^{2}$ ko thể suy ra ngay được $f(1)=1$
Bước quy nạp theo GTQN thì bạn có $f(k)=k$ chứ bạn ko hề có $f(\frac{k+2}{2})=\frac{k+2}{2}$ vả lại để dùng được dữ kiện thứ 2 thì $(m,n)=1$. Trong trường hợp này chúng ta không chắc được $\left ( 2,\frac{k+2}{2} \right )=1$. Và đoạn sau mình đọc ko hiểu những bước suy ra, ta có là thế nào?
Có thể xem thêm ở đây, VD 2 trang 7 nhé. Tuy nhiên bài này có điều kiện $(m,n)=1$ nên sẽ khó hơn
Nó đúng tới k thì cũng đúng tới \[\frac{{k + 2}}{2}\] do \[k \ge 2\]mà bạn. Còn giá trị hàm này thuộc \[{\rm N}^* \] nên khác không là hoàn toàn đúng . còn bài này mình làm nhầm quên mất $(m,n)=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 28-07-2014 - 19:14
Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like
Không ngừng vươn xa
Cho hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
- $f\left ( 2 \right )=2$
- $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right ).f(n)$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$, $(m,n)=1$
- $f(m)<f(n)$ với mọi $m<n$.
Hãy tìm $f(3)$ và $f(2014)$
Làm lại
Giả sử tồn tại hàm số thoả mãn đề bài chọn n=1 ta có \[f(1) = f(1.1) = f(1).f(1) \Rightarrow f(1) = 1\] do f khác không
\[f(3).f(5)=f(15)<f(2).f(9)<f(2).f(10)=f(2).f(2).f(5)\] Suy ra \[f(3)<f(2).f(2)\] . mà \[2 = f(2)<f(3)<4\] nên \[f(3)=3\]
Ta cm \[f(n) = n,\forall n \in {\rm N}^* \]
Giả sử nó đúng đến \[n\] ta cm nó còn đúng với \[n+1\]
Nếu \[n+1\] chẵn
TH1 : \[n + 1 = 2^\alpha (2l + 1)\] suy ra \[f(n + 1) = f(2^\alpha (2l + 1)) = f(2^\alpha ).f(2l + 1) = 2^\alpha (2l + 1) = n + 1\]
TH2 : \[n + 1 = 2^\alpha \Rightarrow f(n + 3) = f(2^\alpha + 2) = f(2(2^{\alpha - 1} + 1)) = f(2).f(2^{\alpha - 1} + 1) = 2^\alpha + 2 = n + 3\]
Mặt khác \[n = f(n) < f(n + 1) < f(n + 2) < f(n + 3) = n + 3\] . Do đó \[f(n+1)=n+1,f(n+2)=n+2\]
Nếu \[n+1\] lẻ thì \[n+2\] là số chẵn
TH1 : \[n + 2 = 2^\alpha (2l + 1) \Rightarrow f(n + 2) = f(2^\alpha (2l + 1)) = f(2^\alpha )f(2l + 1) = n + 2\] mà \[n = f(n) < f(n + 1) < f(n + 2) = n + 2\]
suy ra \[f(n+1)=n+1\]
TH2 : \[n + 2 = 2^\alpha \Rightarrow f(n + 4) = f(2^\alpha + 2) = f(2).f(2^{\alpha - 1} + 1) = n + 2\]
mà \[n = f(n) < f(n + 1) < f(n + 2) < f(n + 3) < f(n + 4) = n + 4\]
nên \[f(n + 1) = n + 1,f(n + 2) = n + 2,f(n + 3) = n + 3\]
Từ đây suy ra đpcm
Đã đọc bài thì đừng tiếc gì nút Like
Không ngừng vươn xa
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh