Chủ đề này có 6 trả lời

[tap lam toan]

Cho hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1. $f\left ( 2 \right )=2$ 
2. $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right ).f(n)$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$, $(m,n)=1$ 
3. $f(m)<f(n)$ với mọi $m<n$. 

Hãy tìm $f(3)$ và $f(2014)$

 
 

[phamxuanvinh08101997]

Cho hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1. $f\left ( 2 \right )=2$ 
2. $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right ).f(n)$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$, $(m,n)=1$ 
3. $f(m)<f(n)$ với mọi $m<n$. 

Hãy tìm $f(3)$ và $f(2014)$

 
 

Chọn n=1 ta có \[f(1) = f(1.1) = f(1).f(1) \Rightarrow f(1) = 1\]

Ta cm \[f(n) = n,\forall n \in {\rm N}^* \]

ta thấy với n=1, n=2 thì khẳng định là đúng

giả sử khẳng định đúng tới \[n = k,k \ge 2\]

ta cần cm \[f(k + 1) = k + 1\]

Th1: nếu k lẻ thì k+1 chẵn suy ra 

\[f(k + 1) = f(2.\frac{{k + 1}}{2}) = f(2).f(\frac{{k + 1}}{2}) = k + 1\]

Th2 : nếu k chẵn thì k+2 chẵn mà \[\frac{{k + 2}}{2} \le k \Rightarrow f(\frac{{k + 2}}{2}) = \frac{{k + 2}}{2}\]

ta có \[f(k + 2) = f(\frac{{k + 2}}{2}.2) = f(2).f(\frac{{k + 2}}{2}) = k + 2\]

lại có \[k = f(k) < f(k + 1) < f(k + 2) = k + 2 \Rightarrow f(k + 1) = k + 1\]

Vậy theo nguyên lí quy nạp thì khẳng định là đúng 

Thử lại thấy hàm số \[f(n) = n,\forall n \in {\rm N}^* \] là thoả mãn

thay n=3, n=2014 ta có

\[f(3) = 3,f(2014) = 2014\]

 

[tap lam toan]

 

Chọn n=1 ta có \[f(1) = f(1.1) = f(1).f(1) \Rightarrow f(1) = 1\]

Ta cm \[f(n) = n,\forall n \in {\rm N}^* \]

ta thấy với n=1, n=2 thì khẳng định là đúng

giả sử khẳng định đúng tới \[n = k,k \ge 2\]

ta cần cm \[f(k + 1) = k + 1\]

Th1: nếu k lẻ thì k+1 chẵn suy ra 

\[f(k + 1) = f(2.\frac{{k + 1}}{2}) = f(2).f(\frac{{k + 1}}{2}) = k + 1\]

Th2 : nếu k chẵn thì k+2 chẵn mà \[\frac{{k + 2}}{2} \le k \Rightarrow f(\frac{{k + 2}}{2}) = \frac{{k + 2}}{2}\]

ta có \[f(k + 2) = f(\frac{{k + 2}}{2}.2) = f(2).f(\frac{{k + 2}}{2}) = k + 2\]

lại có \[k = f(k) < f(k + 1) < f(k + 2) = k + 2 \Rightarrow f(k + 1) = k + 1\]

Vậy theo nguyên lí quy nạp thì khẳng định là đúng 

Bài làm của bạn sai ngay từ dòng đầu và sai cả bước quy nạp 

[phamxuanvinh08101997]

Bài làm của bạn sai ngay từ dòng đầu và sai cả bước quy nạp 

mình sai ở đâu nhỉ , bạn xem lại rồi chỉ rõ dùm 

Hình như bài này ở đề TST của Puerto Rico năm 2012

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 28-07-2014 - 11:35

[tap lam toan]

mình sai ở đâu nhỉ , bạn xem lại rồi chỉ rõ dùm 

Hình như bài này ở đề TST của Puerto Rico năm 2012

Bước đầu từ $f(1)=\left (f(1)  \right )^{2}$ ko thể suy ra ngay được $f(1)=1$ 
Bước quy nạp theo GTQN thì bạn có $f(k)=k$ chứ bạn ko hề có $f(\frac{k+2}{2})=\frac{k+2}{2}$ vả lại để dùng được dữ kiện thứ 2 thì $(m,n)=1$. Trong trường hợp này chúng ta không chắc được $\left ( 2,\frac{k+2}{2} \right )=1$. Và đoạn sau mình đọc ko hiểu những bước suy ra, ta có là thế nào?
Có thể xem thêm ở đây, VD 2 trang 7 nhé. Tuy nhiên bài này có điều kiện $(m,n)=1$ nên sẽ khó hơn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tap lam toan: 28-07-2014 - 13:22

[phamxuanvinh08101997]

Bước đầu từ $f(1)=\left (f(1)  \right )^{2}$ ko thể suy ra ngay được $f(1)=1$ 
Bước quy nạp theo GTQN thì bạn có $f(k)=k$ chứ bạn ko hề có $f(\frac{k+2}{2})=\frac{k+2}{2}$ vả lại để dùng được dữ kiện thứ 2 thì $(m,n)=1$. Trong trường hợp này chúng ta không chắc được $\left ( 2,\frac{k+2}{2} \right )=1$. Và đoạn sau mình đọc ko hiểu những bước suy ra, ta có là thế nào?
Có thể xem thêm ở đây, VD 2 trang 7 nhé. Tuy nhiên bài này có điều kiện $(m,n)=1$ nên sẽ khó hơn

Nó đúng tới k thì cũng đúng tới \[\frac{{k + 2}}{2}\] do \[k \ge 2\]mà bạn. Còn giá trị hàm này thuộc \[{\rm N}^* \] nên khác không là hoàn toàn đúng . còn bài này  mình làm nhầm quên mất $(m,n)=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 28-07-2014 - 19:14

[phamxuanvinh08101997]

Cho hàm số $f:N^{*}\rightarrow N^{*}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

1. $f\left ( 2 \right )=2$ 
2. $f\left ( mn \right )=f\left ( m \right ).f(n)$ với mọi $m,n\in \mathbb{N}^{*}$, $(m,n)=1$ 
3. $f(m)<f(n)$ với mọi $m<n$. 

Hãy tìm $f(3)$ và $f(2014)$

 
 

Làm lại 

Giả sử tồn tại hàm số thoả mãn đề bài chọn n=1 ta có \[f(1) = f(1.1) = f(1).f(1) \Rightarrow f(1) = 1\] do f khác không

\[f(3).f(5)=f(15)<f(2).f(9)<f(2).f(10)=f(2).f(2).f(5)\] Suy ra \[f(3)<f(2).f(2)\] . mà \[2 = f(2)<f(3)<4\] nên \[f(3)=3\]

Ta cm \[f(n) = n,\forall n \in {\rm N}^* \]

Giả sử nó đúng đến \[n\] ta cm nó còn đúng với \[n+1\]

Nếu \[n+1\] chẵn

 TH1 : \[n + 1 = 2^\alpha  (2l + 1)\] suy ra \[f(n + 1) = f(2^\alpha  (2l + 1)) = f(2^\alpha  ).f(2l + 1) = 2^\alpha  (2l + 1) = n + 1\]

 TH2 : \[n + 1 = 2^\alpha   \Rightarrow f(n + 3) = f(2^\alpha   + 2) = f(2(2^{\alpha  - 1}  + 1)) = f(2).f(2^{\alpha  - 1}  + 1) = 2^\alpha   + 2 = n + 3\]

Mặt khác \[n = f(n) < f(n + 1) < f(n + 2) < f(n + 3) = n + 3\] . Do đó \[f(n+1)=n+1,f(n+2)=n+2\]

Nếu \[n+1\] lẻ thì \[n+2\] là số chẵn

 TH1 : \[n + 2 = 2^\alpha  (2l + 1) \Rightarrow f(n + 2) = f(2^\alpha  (2l + 1)) = f(2^\alpha  )f(2l + 1) = n + 2\] mà \[n = f(n) < f(n + 1) < f(n + 2) = n + 2\]

suy ra \[f(n+1)=n+1\]

 TH2 : \[n + 2 = 2^\alpha   \Rightarrow f(n + 4) = f(2^\alpha   + 2) = f(2).f(2^{\alpha  - 1}  + 1) = n + 2\]

mà \[n = f(n) < f(n + 1) < f(n + 2) < f(n + 3) < f(n + 4) = n + 4\] 

nên \[f(n + 1) = n + 1,f(n + 2) = n + 2,f(n + 3) = n + 3\]

Từ đây suy ra đpcm