Chủ đề này có 3 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$.
CMR: $\frac{a}{b^2+5}+\frac{b}{c^2+5}+\frac{c}{a^2+5}\leq \frac{1}{2}$

[tap lam toan]

Sử dụng $AM-GM$ cho ta $\sum \dfrac{a}{b^{2}+5}\leq \sum \dfrac{a}{2b+4}$. Do đó cần chứng minh
$$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$$
$$\Leftrightarrow a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\leq abc+8$$
Từ điều kiện ta có $3\sqrt{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}\geq \left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\left ( a+b+c \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$
Do đó ta cần chứng minh $VT\leq a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b-abc\leq 2$
Đến đây sử dụng pp chuyển vị
$$a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b-abc\leq Max\left \{ a(b^{2}+c^{2}),b(c^{2}+a^{2}),c(a^{2}+b^{2}) \right \}$$
$$\leq \sqrt{\frac{1}{2}\left [ \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3} \right ]^{3}}\leq 2$$

[ttpro1999]

Sử dụng $AM-GM$ cho ta $\sum \dfrac{a}{b^{2}+5}\leq \sum \dfrac{a}{2b+4}$. Do đó cần chứng minh
$$\frac{a}{b+2}+\frac{b}{c+2}+\frac{c}{a+2}\leq 1$$
$$\Leftrightarrow a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\leq abc+8$$
Từ điều kiện ta có $3\sqrt{3\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}\geq \left ( a^{3}+b^{3}+c^{3} \right )\left ( a+b+c \right )\geq \left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}$
$\Rightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 3$
Do đó ta cần chứng minh $VT\leq a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b-abc\leq 2$
Đến đây sử dụng pp chuyển vị
$$a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b-abc\leq Max\left \{ a(b^{2}+c^{2}),b(c^{2}+a^{2}),c(a^{2}+b^{2}) \right \}$$
$$\leq \sqrt{\frac{1}{2}\left [ \frac{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{3} \right ]^{3}}\leq 2$$

đoạn từ điều kiện ta có hình như sai rồi

[tap lam toan]

đoạn từ điều kiện ta có hình như sai rồi

sai như thế nào bạn chỉ ra mình xem với