Chủ đề này có 5 trả lời

[linhdan611]

1. cho a>0. tìm GTNN của: 

a, $P=a^{2}+\frac{1}{a}$

b, $P= a+\frac{1}{a^{2}}$

2. cho $a,b,c\geqslant 0$

chứng minh răng:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

3. cho a,b,c>0. chứng minh 

$\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$

4.cho $0^{\circ}<\alpha < 90^{\circ}$

tìm GTLL : $sin\alpha .cos^{2}\alpha$

[Phuong Thu Quoc]

1. cho a>0. tìm GTNN của: 

a, $P=a^{2}+\frac{1}{a}$

b, $P= a+\frac{1}{a^{2}}$

2. cho $a,b,c\geqslant 0$

chứng minh răng:$a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

3. cho a,b,c>0. chứng minh 

$\frac{a^{3}}{b+c}+\frac{b^{3}}{c+a}+\frac{c^{3}}{a+b}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}$

4.cho $0^{\circ}<\alpha < 90^{\circ}$

tìm GTLL : $sin\alpha .cos^{2}\alpha$

1/ Theo AM-GM

a/ $a^{2}+\frac{1}{a}=a^{2}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{4}}=\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$

Dấu = khi $a=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

b/ $a+\frac{1}{a^{2}}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{1}{a^{2}}\geq 3.\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

Dấu = khi $a=\sqrt[3]{2}$

2/ Giả sử $a\geq b\geq c$

$VT-VP=\left ( a-b \right )\left ( a^{2}-b^{2} \right )+\left ( a-c \right )\left ( b^{2}-c^{2} \right )\geq 0$

Dấu = khi $a=b=c$

3/ Theo C-S 

$\sum \frac{a^{3}}{b+c}=\sum \frac{a^{4}}{ab+ac}\geq \frac{\left ( \sum a^{2} \right )^{2}}{2\left ( b+bc+ca \right )}\geq \frac{\sum a^{2}}{2}$

Dấu = khi a=b=c

4/ Đặt $t=cos^{2}\alpha \geq 0$

$P^{2}=sin^{2}\alpha cos^{4}\alpha =\left ( 1-t \right )t^{2}=4\left ( 1-t \right ).\frac{t}{2}.\frac{t}{2}\leq 4.\frac{\left ( 1-t+\frac{t}{2}+\frac{t}{2} \right )^{3}}{3^{3}}=\frac{4}{27}\Rightarrow P\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

Dấu = khi t=2/3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phuong Thu Quoc: 24-07-2014 - 14:34

[linhdan611]

bài 2,3 có kí hiệu $\sum$... là sao ạ??

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi linhdan611: 23-07-2014 - 22:00

[anh1999]

bài 2,3 có kí hiệu $\sum$... là sao ạ??

tức là tổng đối xứng đó mà 

VD bài 3

$\sum \frac{a^3}{b+c}=\frac{a^3}{b+c}+\frac{b^3}{c+a}+\frac{c^3}{a+b}$

[linhdan611]

có thể giải cụ thể dấu = xảy ra ở bài 1 k ạ??

[Viet Hoang 99]

có thể giải cụ thể dấu = xảy ra ở bài 1 k ạ??

     

BĐT Cauchy (Cô si) dấu $"="$ xảy ra khi $a^2=\frac{1}{2a}=\frac{1}{2a}$