Chủ đề này có 6 trả lời

[huyhoangfan]

Với $x, y, z, t > 0$. Tìm GTNN:

 

$\sum \frac{x}{y+z+t}+\sum \frac{y+z+t}{x}$.

[phamxuanvinh08101997]

Với $x, y, z, t > 0$. Tìm GTNN:

 

$\sum \frac{x}{y+z+t}+\sum \frac{y+z+t}{x}$.

Ta có 

\[\frac{x}{{y + z + t}} + \frac{{y + z + t}}{{9x}} \ge \frac{2}{3} \Rightarrow VT \ge \frac{8}{3} + \frac{8}{9}(\sum {\frac{{y + z + t}}{x}} ) \ge \frac{8}{3} + \frac{{8.12}}{9} = \frac{{40}}{3}\]

Theo mình nghĩ là thế này

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 24-07-2014 - 16:36

[huyhoangfan]

 

Ta có 

\[\frac{x}{{y + z + t}} + \frac{{y + z + t}}{{9x}} \ge \frac{2}{3} \Rightarrow VT \ge \frac{8}{3} + \frac{8}{9}(\sum {\frac{{y + z + t}}{x}} ) \ge \frac{8}{3} + \frac{{8.12}}{9} = \frac{{40}}{3}\]

Theo mình nghĩ là thế này

 

Đừng ngộ nhận AM-GM không được đâu bạn, nếu làm vậy thì dấu "=" xảy ra khi  $x=y=z=t$=0 trái với GT rồi!

[Nguyentiendung9372]

Ta có 

$\sum {\frac{x}{{y + z + t}}}  = \sum {\frac{{{x^2}}}{{xy + x{\rm{z}} + xt}}}  \ge \frac{{{{\left( {x + y + z + t} \right)}^2}}}{{2\sum\limits_{sym} {\left( {xy} \right)} }}$

Mặt khác, ta chứng minh được BĐT sau (chỉ dùng biến đổi tương đương)

$3{\left( {x + y + z + t} \right)^2} \ge 8\sum\limits_{sym} {\left( {xy} \right)} $

Nên 

$\frac{{{{\left( {x + y + z + t} \right)}^2}}}{{2\sum\limits_{sym} {\left( {xy} \right)} }} \ge \frac{{\frac{8}{3}\sum\limits_{sym} {\left( {xy} \right)} }}{{2\sum\limits_{sym} {\left( {xy} \right)} }} = \frac{4}{3}$

Mặt khác, ta có 

$\sum {\frac{{y + z + t}}{x}}  = \left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x}} \right) + \left( {\frac{x}{z} + \frac{z}{x}} \right) + \left( {\frac{x}{t} + \frac{t}{x}} \right) + \left( {\frac{y}{z} + \frac{z}{y}} \right) + \left( {\frac{y}{t} + \frac{t}{y}} \right) + \left( {\frac{z}{t} + \frac{t}{z}} \right) \ge 12$

Nên 

$\sum {\frac{x}{{y + z + t}}}  + \sum {\frac{{y + z + t}}{x}}  \ge 12 + \frac{4}{3} = \frac{{40}}{3}$

Vậy kết luận min=$\frac{{40}}{3}$ khi $x=y=z=t$

[phamxuanvinh08101997]

Đừng ngộ nhận AM-GM không được đâu bạn, nếu làm vậy thì dấu "=" xảy ra khi  $x=y=z=t$=0 trái với GT rồi!

dấu = chỉ xảy ra ở x=y=z=t thôi mà

cái trong ngoặc rõ ràng là AM-GM , sao sai đc nhỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamxuanvinh08101997: 24-07-2014 - 16:50

[huyhoangfan]

dấu = chỉ xảy ra ở x=y=z=t thôi mà

cái trong ngoặc rõ ràng là AM-GM , sao sai đc nhỉ

Cách làm của bạn tiendung thì mới đúng còn bạn làm BĐT đầu tiên:

 

$\frac{x}{y+z+t}+\frac{y+z+t}{9x}\geq \frac{2}{3}$.

 

$\Rightarrow \frac{x}{y+z+t}=\frac{y+z+t}{9x}\Leftrightarrow 3x=y+z+t$, thử hỏi dấu = xảy ra khi nào.

 

 dấu "=" xảy ra khi  $x=y=z=t$=0 trái với GT rồi!

[phamxuanvinh08101997]

Cách làm của bạn tiendung thì mới đúng còn bạn làm BĐT đầu tiên:

 

$\frac{x}{y+z+t}+\frac{y+z+t}{9x}\geq \frac{2}{3}$.

 

$\Rightarrow \frac{x}{y+z+t}=\frac{y+z+t}{9x}\Leftrightarrow 3x=y+z+t$, thử hỏi dấu = xảy ra khi nào.

Thì x=y,x=z,x=t mà