Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $(a^3+b)(b^3+a)=2^c$
#1
Đã gửi 25-07-2014 - 09:54
#2
Đã gửi 25-07-2014 - 11:38
ta có;
$(a^{3}+b)-(a+b^{3})=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}-1)$
suy ra $a\geq b\Leftrightarrow (a^{3}+b)\geq (a+b^{3})$
Do $(a^{3}+b)(b^{3}+a)=2^{c}$ nên $a^{3}+b=2^{m};b^{3}+a=2^{n}(m\geq n;m+n=c)$
giả sử m>=n
Từ gt ta có:
$b\equiv -a^{3}(mod 2^{m})\Rightarrow b\equiv -a^{3}(mod 2^{n})\Rightarrow b^{3}\equiv -a^{9}(mod 2^{n})\Rightarrow a\equiv a^{9}(mod 2^{n})$
$\Rightarrow a=2^{k}$$\rightarrow a^{8}-1 \neq 2^{r}$
suy ra k=0 hay a=1 suy ra b=1;c=2
- einstein627 yêu thích
#3
Đã gửi 25-07-2014 - 12:18
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $(a^3+b)(b^3+a)=2^c$
Lời giải. Không mất tính tổng quát, giả sử $a^3+b \ge b^3+a \Leftrightarrow a \ge b$. Khi đó $2^k= b^3+a|a^3+b$. Ta có $b \equiv -a^3 \pmod{2^k}$ và $a \equiv -b^3 \pmod{2^k}$ suy ra $a^3 \equiv -b^9 \pmod{2^k}$. Do đó $b^9 \equiv b \pmod{2^k}$.
Mặt khác, ta có $(a^3+b)-(b^3+a)=(a-b)(a^2+ab+b^2-1)= 2^k \cdot M$. Để ý rằng $\gcd (a-b,a^2+ab+b^2-1)=d$ thì $d|a^2+ab+b^2-1-(a-b)^2$ hay $d|3ab-1$. Do đó nếu $2|ab$ thì $2 \nmid d$, mâu thuẫn vì $k \ge 1$. Như vậy $a,b$ lẻ. Khi đó $b^9 \equiv b \pmod{2^k}$ suy ra $b^8 \equiv 1 \pmod{2^k}$. Mặt khác thì $b^8-1=(b^2-1)(b^2+1)(b^4+1)$ và $b^4+1 \equiv b^2+1 \equiv 2 \pmod{4}$ nên ta suy ra $4(b^2-1) \equiv 0 \pmod{2^k} \equiv 0 \pmod{b^3+a}$. Từ đó dẫn đến $1 \le b \le 4$. Xét từng trường hợp ta tìm được kết quả.
Vậy $(a,b)=(1,1),(3,5),(5,3)$. $\blacksquare$
- mnguyen99, HoangHungChelski và cucuong567 thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh