Chủ đề này có 2 trả lời

[HoangHungChelski]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $(a^3+b)(b^3+a)=2^c$

[gatoanhoc1998]

ta có;

    $(a^{3}+b)-(a+b^{3})=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}-1)$

suy ra $a\geq b\Leftrightarrow (a^{3}+b)\geq (a+b^{3})$

Do $(a^{3}+b)(b^{3}+a)=2^{c}$ nên $a^{3}+b=2^{m};b^{3}+a=2^{n}(m\geq n;m+n=c)$

giả sử m>=n

Từ gt ta có:

  $b\equiv -a^{3}(mod 2^{m})\Rightarrow b\equiv -a^{3}(mod 2^{n})\Rightarrow b^{3}\equiv -a^{9}(mod 2^{n})\Rightarrow a\equiv a^{9}(mod 2^{n})$

$\Rightarrow a=2^{k}$$\rightarrow a^{8}-1 \neq 2^{r}$

suy ra k=0 hay a=1 suy ra b=1;c=2

[Zaraki]

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $(a^3+b)(b^3+a)=2^c$

Lời giải. Không mất tính tổng quát, giả sử $a^3+b \ge b^3+a \Leftrightarrow a \ge b$. Khi đó $2^k= b^3+a|a^3+b$. Ta có $b \equiv -a^3 \pmod{2^k}$ và $a \equiv -b^3 \pmod{2^k}$ suy ra $a^3 \equiv -b^9 \pmod{2^k}$. Do đó $b^9 \equiv b \pmod{2^k}$.

 

Mặt khác, ta có $(a^3+b)-(b^3+a)=(a-b)(a^2+ab+b^2-1)= 2^k \cdot M$. Để ý rằng $\gcd (a-b,a^2+ab+b^2-1)=d$ thì $d|a^2+ab+b^2-1-(a-b)^2$ hay $d|3ab-1$. Do đó nếu $2|ab$ thì $2 \nmid d$, mâu thuẫn vì $k \ge 1$. Như vậy $a,b$ lẻ. Khi đó $b^9 \equiv b \pmod{2^k}$ suy ra $b^8 \equiv 1 \pmod{2^k}$. Mặt khác thì $b^8-1=(b^2-1)(b^2+1)(b^4+1)$ và $b^4+1 \equiv b^2+1 \equiv 2 \pmod{4}$ nên ta suy ra $4(b^2-1) \equiv 0 \pmod{2^k} \equiv 0 \pmod{b^3+a}$. Từ đó dẫn đến $1 \le b \le 4$. Xét từng trường hợp ta tìm được kết quả.

Vậy $(a,b)=(1,1),(3,5),(5,3)$. $\blacksquare$