Chủ đề này có 2 trả lời

[bestmather]

cho a,b,c >0 với $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$

[Rias Gremory]

cho a,b,c >0 với $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$

Ta có $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b}$

 

$\Leftrightarrow  \dfrac{a+c}{ac}=\dfrac{2}{b}$
$\Leftrightarrow  b=\dfrac{2ac}{a+c}$
Từ đó ta có $\dfrac{a+b}{2a-b}=\dfrac{a(a+3c)(a+c)}{(a+c)(2a^2)}=\dfrac{a+3c}{2a}$
Tương tự ,ta có:$\dfrac{b+c}{2c-b}=\dfrac{c+3a}{2c}$
Như vậy bất đẳng thức trở thành:
$\dfrac{a+3c}{2a}+\dfrac{c+3a}{2c}=\dfrac{2ac+3(a^2+c^2)}{2ac}$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$,ta có:$a^2+c^2 \ge 2ac$
Như vậy $\dfrac{2ac+3(a^2+c^2)}{2ac} \ge \dfrac{6ac}{2ac}=4$
$\Leftrightarrow  \dfrac{a+b}{2a-b}+\dfrac{b+c}{2c-b} \ge 4$
Dấu $"="$xảy ra khi $a=b=c$

[KietLW9]

cho a,b,c >0 với $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$. Chứng minh rằng:

$\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\geq 4$

Từ giả thiết suy ra $\left\{\begin{matrix}2a-b=\frac{ab}{c} & \\2c-b=\frac{bc}{a} & \end{matrix}\right.$

Ta có: $\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\geqslant \frac{2}{\sqrt{ac}}\Rightarrow \sqrt{\frac{ac}{b^2}}\geqslant 1$

+) $\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{c(a+b)}{ab}+\frac{a(b+c)}{bc}=\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{a}{b}\geqslant 4\sqrt[4]{\frac{ac}{b^2}}\geqslant 4(Q.E.D)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 09-05-2021 - 15:23