Chủ đề này có 8 trả lời

[Mikhail Leptchinski]

Cho $a,b,c>0$.Chứng minh rằng:$\sum \frac{1}{4a^2-ab+4b^2}\geq \frac{9}{7(a^2+b^2+c^2)}$

[khanghaxuan]

$\sum \frac{1}{4a^{2}-ab+4b^{2}}\geq \frac{9}{8\sum a^{2}-\sum ab}\geq \frac{9}{7\sum a^{2}}$suy ra dpcm

[TrongDuong]

$\sum \frac{1}{4a^{2}-ab+4b^{2}}\geq \frac{9}{8\sum a^{2}-\sum ab}\geq \frac{9}{7\sum a^{2}}$suy ra dpcm

$\sum ab\leq \sum a^2\Rightarrow 8\sum a^2-\sum ab\geq 7\sum a^2$

$\Rightarrow  \frac{9}{8\sum a^{2}-\sum ab}\leq \frac{9}{7\sum a^{2}}$

???

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TrongDuong: 28-07-2014 - 07:30

[Mikhail Leptchinski]

$\sum \frac{1}{4a^{2}-ab+4b^{2}}\geq \frac{9}{8\sum a^{2}-\sum ab}\geq \frac{9}{7\sum a^{2}}$suy ra dpcm

Lời giải bị ngược dấu nhé bạn

[TrongDuong]

KMTTQ, chuẩn hóa $\sum a^2=3$

BĐT viết lại thành

$\left ( 4\sum a^2-\sum ab \right )\left ( \sum \frac{1}{4a^2-ab+4b^2} \right ) \geq \frac{9\left ( 4\sum a^2-\sum ab \right )}{7\left ( \sum a^2 \right )}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{4c^2-cb-ca}{4a^2-ab+4b^2}+\frac{9\left ( \sum ab \right )}{7\left ( \sum a^2 \right )}\geq \frac{15}{7}$

 

Mà $\sum \frac{4c^2-cb-ca}{4a^2-ab+4b^2}\geq \frac{\left ( 4\sum a^2-2\sum ab \right )^2}{\sum (4c^2-cb-ca)(4a^2-ab+4b^2)}=\frac{(36-10\sum ab)^2}{40(\sum ab)^2-36\sum ab-70abc}$

 

nên ta chỉ cần c/m 

 

$\frac{(36-10\sum ab)^2}{40(\sum ab)^2-36\sum ab-70abc}+\frac{9\sum ab}{7(9-2\sum ab)}\geq \frac{15}{7}$

 

Đặt $\sum ab=q, abc=r$

 

 

$\frac{(36-10q)^2}{40q^2-36q-70r}+\frac{9q}{7(9-2q)}\geq \frac{15}{7}$

 

$$\Leftrightarrow 2(40q^3+2394q^2-14661q+20412)+315(45-13q)r\geq 0$$

 

Xét TH: $q\leq \frac{9}{4}$

$\Rightarrow 40q^3+2394q^2-14661q+20412=(4q-9)(10q^2+621q-2268)\geq 0$

 

Nếu $3\geq q\geq \frac{9}{4}$

 

mà $r \geq \frac{4q-9}{3}$

 

Nên $2(40q^3+2394q^2-14661q+20412)+315(45-13q)r\geq (q-3)(4q-9)(20q-63)\geq 0$

 

2 bđt cuối của 2 TH đúng 

=> bđt được chứng minh 

 

Nói vậy thôi chứ bài này mình chép từ tài liệu ra ấy, chứ sao làm nổi

[Mikhail Leptchinski]

KMTTQ, chuẩn hóa $\sum a^2=3$

BĐT viết lại thành

$\left ( 4\sum a^2-\sum ab \right )\left ( \sum \frac{1}{4a^2-ab+4b^2} \right ) \geq \frac{9\left ( 4\sum a^2-\sum ab \right )}{7\left ( \sum a^2 \right )}$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{4c^2-cb-ca}{4a^2-ab+4b^2}+\frac{9\left ( \sum ab \right )}{7\left ( \sum a^2 \right )}\geq \frac{15}{7}$

 

Mà $\sum \frac{4c^2-cb-ca}{4a^2-ab+4b^2}\geq \frac{\left ( 4\sum a^2-2\sum ab \right )^2}{\sum (4c^2-cb-ca)(4a^2-ab+4b^2)}=\frac{(36-10\sum ab)^2}{40(\sum ab)^2-36\sum ab-70abc}$

 

nên ta chỉ cần c/m 

 

$\frac{(36-10\sum ab)^2}{40(\sum ab)^2-36\sum ab-70abc}+\frac{9\sum ab}{7(9-2\sum ab)}\geq \frac{15}{7}$

 

Đặt $\sum ab=q, abc=r$

 

 

$\frac{(36-10q)^2}{40q^2-36q-70r}+\frac{9q}{7(9-2q)}\geq \frac{15}{7}$

 

$$\Leftrightarrow 2(40q^3+2394q^2-14661q+20412)+315(45-13q)r\geq 0$$

 

Xét TH: $q\leq \frac{9}{4}$

$\Rightarrow 40q^3+2394q^2-14661q+20412=(4q-9)(10q^2+621q-2268)\geq 0$

 

Nếu $3\geq q\geq \frac{9}{4}$

 

mà $r \geq \frac{4q-9}{3}$

 

Nên $2(40q^3+2394q^2-14661q+20412)+315(45-13q)r\geq (q-3)(4q-9)(20q-63)\geq 0$

 

2 bđt cuối của 2 TH đúng 

=> bđt được chứng minh 

 

Nói vậy thôi chứ bài này mình chép từ tài liệu ra ấy, chứ sao làm nổi

 Công nhận là khó thế bạn chứng minh tổng quát song ra được như thế này

[TrongDuong]

 Công nhận là khó thế bạn chứng minh tổng quát song ra được như thế này

Mấy bài này đọc hiểu được cách giải là mình mừng hết lớn rồi chứ đừng nói là làm :'(

[Mikhail Leptchinski]

Mấy bài này đọc hiểu được cách giải là mình mừng hết lớn rồi chứ đừng nói là làm :'(

khó hiểu bạn à,phải tự đọc mà ngẫm mới hiểu được.Mình mới hơi rõ cách làm thôi chứ không biết làm đâu

[TrongDuong]

thì đó, mình đọc nửa tiếng hiểu rồi mới dám trả lời mà