Chủ đề này có 1 trả lời

[ktt]

Cho a,b,c>0 và a+b+c$\leq \sqrt{3}$. CMR

S= $\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}+$$\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}+$$\frac{c}{\sqrt{c^2+1}}$$\leq \frac{3}{2}$

[TrongDuong]

$S^2=(\sum \sqrt{a}\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a^2+1}})\leq (\sum a)(\sum \frac{a}{a^2+1})\leq \sqrt{3}(\sum \frac{a}{a^2+1})$

 

Do $a^2+1=a^2+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\geq \frac{2(a\sqrt{3}+1)}{3}$

 

Nên $S^2\leq \sqrt{3}(\sum \frac{3a}{2(a\sqrt{3}+1)})=\frac{3\sqrt{3}}{2}(\frac{a}{a\sqrt{3}+1})$

 

Có $\sum \frac{a}{a\sqrt{3}+1}=3\frac{1}{\sqrt{3}}-(\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)})=\sqrt{3}-(\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)})$

 

Như vậy ta chỉ cần tim của $\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)}$

 

 

$\sum \frac{1}{\sqrt{3}(\sqrt{3}a+1)}\geq \frac{9}{3(a+b+c)+3\sqrt{3}}\geq \frac{\sqrt{3}}{2}$

 

$S^2\leq \frac{9}{4}$

 

=> đpcm

 

p/s: cái số cô hồn quá :3