Chủ đề này có 3 trả lời

[sieumatral]

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn:

      $0\leq a;b;c\leq 2$ và a+b+c=3

    Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

[tim1nuathatlac]

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn:

      $0\leq a;b;c\leq 2$ và a+b+c=3

    Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9$

 

Theo hướng đại học, ta sẽ đưa bài này về 1 biến...sau đó đánh giá...~!

 

Giả sử : $a\geq b\geq c$   

 

Ta có: 

 

$a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq a^{3}+b^{3}+cb^{2}=a^{3}+b^{2}\left ( b+c \right )=a^{3}+\left ( 3-a-c \right )^{2}\left ( 3-a \right )\leq a^{3}+\left ( 3-a \right )^{3}$

 

Như vậy chỉ cần chỉ ra được rằng

$a^{3}+\left ( 3-a \right )^{3}\leq 9$

 

$\Leftrightarrow \left ( a-2 \right )\left ( a+1 \right )\leq 0$

 

Kết thúc chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tim1nuathatlac: 29-07-2014 - 21:39

[sieumatral]

Cách của mình. Hơi dài 

   Áp dụng hằng đẳng thức:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)+3abc$

                      $= (a+b+c)((a+b+c)^{2}-3(ab+bc+ca))+3abc$

                            $= 27-9(ab+bc+ca)+3abc$

  Lại có: $0\leq a,b,c\leq 2$ => $(2-a)(2-b)(2-c)\geq 0 <=> 8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc\geq 0$

                                    => $-2(ab+bc+ca)\leq -4-abc$

                                      $<=> -9(ab+bc+ca)+3abc\leq -18-\frac{3}{2}abc\leq -18$ do $abc\geq 0$

       Vậy: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 27-18=9$ (ĐPCM)

   Dấu "=" xảy ra <=> (a,b,c)=(0,1,2) hoặc các hoán vị của nó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieumatral: 29-07-2014 - 22:34

[nguyenhongsonk612]

Cho 3 số a,b,c thỏa mãn:

      $0\leq a;b;c\leq 2$ và a+b+c=3

    Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3}\leq 9

Không mất tính tổng quát ta giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow a\geq 1$

Ta có $a^3+b^3+c^3\leq a^3+(b+c)^3=a^3+(3-a)^3=9a^2-27a+27$

Như vậy cần chứng minh $9a^2-27a+27\leq 9\Leftrightarrow 9(a-1)(a-2)\leq 0$ (luôn đúng do $a \geq 1; a \leq 2$)

Dấu "=" khi $a=1;b=0;c=2$ và các hoán vị.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 01-08-2014 - 09:34