Chủ đề này có 10 trả lời

[chieckhantiennu]

$\fbox{1}$ Cho $x,y,z>0$. chứng minh:

$P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}$

$\fbox{2}$ $x,y,z>0,xyz=xy+yz+xz$

chứng minh: $\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{3x+y+2z}< \frac{3}{16}$

$\fbox{3}$ $x,y,z>0$, $x^2+y^2+z^2=1$.

cm: $\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{x^2+z^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 30-07-2014 - 16:40

[Mikhail Leptchinski]

$\fbox{1}$ Cho $x,y,z>0$. chứng minh:

$P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}$

 

Áp dụng bất đẳng thức phụ sau:$\frac{1}{a+b}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})$($a,b>0$)

Vì $x,y,z>0$

Ta có:$\frac{1}{2x+y+z}=\frac{1}{(x+y)+(x+z)}\leq \frac{1}{4}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+z})$

suy ra $\frac{x}{2x+y+z}\leq \frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z})$

Tương tự có:$P\leq \frac{1}{4}(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}+\frac{z}{y+z})=\frac{1}{4}(\frac{x+y}{x+y}+\frac{x+z}{x+z}+\frac{y+z}{y+z})=\frac{1}{4}.3=\frac{3}{4}$ (điều phải chứng minh)

Dấu bằng xảy ra $<=>x=y=z$

[bestmather]

$\fbox{2}$ $x,y,z>0,xyz=xy+yz+xz$

chứng minh: $\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{3x+y+2z}\leq $\frac{3}{16}$

 

chỗ đó phải là $\frac{1}{6}$ chứ nhỉ ?

[bestmather]

$\fbox{1}$ Cho $x,y,z>0$. chứng minh:

$P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}$

$\fbox{2}$ $x,y,z>0,xyz=xy+yz+xz$

chứng minh: $\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{3x+y+2z}\leq \frac{3}{16}$

$\fbox{3}$ $x,y,z>0$, $x^2+y^2+z^2=1$.

cm: $\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{x^2+z^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

3/

$\frac{x}{y^2+z^2}=\frac{x}{1-x^2}=\frac{x^2}{x(1-x^2)}$

$2x^2(1-x^2)(1-x^2)\leq (\frac{2x^2+1-x^2+1-x^2}{3})^3=\frac{8}{27}\Rightarrow x(1-x^2)\leq \frac{2\sqrt{3}}{9}\Rightarrow \sum \frac{x}{y^2+z^2}\geq \sum \frac{x^2}{\frac{2\sqrt{3}}{9}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

[Mikhail Leptchinski]

$\fbox{2}$ $x,y,z>0,xyz=xy+yz+xz$

chứng minh: $\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{3x+y+2z}\leq \frac{3}{16}$

Bài 2 ý tưởng cũng như bài 1

Áp dụng bất đẳng thức sau $\frac{1}{x+y+y+z+z+z}\leq \frac{1}{9}(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+z})\leq \frac{1}{36}(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{z})$

Tương tự có:Vế trái $P\leq \frac{1}{36}.6(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$

Mà giả thiết có:$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$

Suy ra $P\leq \frac{1}{36}.6.1=\frac{1}{6}$

Đề bài của bạn sai nhé bạn xem lại hộ mình 

[bestmather]

Áp dụng bđt S-vác:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geq \frac{(1+1+1+1+1+1)^2}{x+2y+3z}=\frac{36}{x+2y+3z}\Rightarrow 36\sum \frac{1}{x+2y+3z}\leq 6\sum \frac{1}{x}=6\Rightarrow \sum \frac{1}{x+2y+3z}\leq \frac{1}{6}$

[Mikhail Leptchinski]

$\fbox{2}$ $x,y,z>0,xyz=xy+yz+xz$

chứng minh: $\frac{1}{x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+z}+\frac{1}{3x+y+2z}\leq \frac{3}{16}$

 

Chỗ này sửa là ${\color{Red} \frac{1}{6}}$ nhé bạn

[chieckhantiennu]

Chỗ này sửa là ${\color{Red} \frac{1}{6}}$ nhé bạn

nhầm. dấu < chứ ko phải $\leq $ 

[Mikhail Leptchinski]

nhầm. dấu < chứ ko phải $\leq $ 

Ừ.Ta có $P\leq \frac{1}{6}<\frac{3}{16}$ 

[KietLW9]

$\fbox{1}$ Cho $x,y,z>0$. chứng minh:

$P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}$

Tương tự: https://diendantoanh...35/#entry726177

[KietLW9]

$\fbox{1}$ Cho $x,y,z>0$. chứng minh:

$P=\frac{x}{2x+y+z}+\frac{y}{x+2y+z}+\frac{z}{x+y+2z}\leq \frac{3}{4}$

Ta có:

$\frac{3}{4}-P=\frac{1}{4}\sum \frac{(x-y)^2}{(2x+y+z)(2y+z+x)}$