Chủ đề này có 7 trả lời

[Thao Meo]

1 ) Cho $0\leq x\leq y\leq 1$ ; $2x+y \leq 2$ .Chứng minh : $2x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{2}$
2) Cho $x,y \geq 0$ ; $x^{2}+ y^{2}=1$ . Chứng minh : $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$
3) Cho x³+y³+z³=1 ; x,y,z > 0 . Chứng minh : 
$\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}} \geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thao Meo: 30-07-2014 - 21:50

[Riann levil]

Ta có $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}= \frac{x^{3}}{x\sqrt{1-x^{2}}}\geq \frac{x^{3}}{\frac{x^{2}+(\sqrt{1-x^{2}})^{2}}{2}}=2x^{3}$

Tương tự với $\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}$, $\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}$

Cộng vế với vế ta suy ra đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Riann levil: 30-07-2014 - 23:16

[davidsilva98]

1 ) Cho $0\leq x\leq y\leq 1$ ; $2x+y \leq 2$ .Chứng minh : $2x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{2}$
2) Cho $x,y \geq 0$ ; $x^{2}+ y^{2}=1$ . Chứng minh : $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$
3) Cho x³+y³+z³=1 ; x,y,z > 0 . Chứng minh : 
$\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}} \geq 2$

 

Bài 1. 

Ta xét hai trưởng hợp sau:

$\cdot$ Trường hợp 1: $x< \frac{1}{2}$. Suy ra $2x^{2}+y^{2}< 2.\left ( \frac{1}{2} \right )^{2}+1=\frac{3}{2}$

$\cdot$ Trường hợp 2: $x\geq \frac{1}{2}$.

Mặt khác: $3x\leq 2x+y\leq 2\Rightarrow x\leq \frac{2}{3}$

Lại có: $2x+y\leq 2\Rightarrow y\leq 2-2x$ nên $2x^{2}+y^{2}\leq 2x^{2}+(2-2x)^{2}$

Do đó cần chứng minh $2x^{2}+(2-2x)^{2}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{5}{6}$ (đúng)

Vậy $2x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{2}$

 

Bài 2. 

Theo bđt AM-GM ta có:

$x^{3}+x^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}\geq \frac{3\sqrt{2}.x^{2}}{2}$

$y^{3}+y^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}\geq \frac{3\sqrt{2}y^{2}}{2}$

$\Rightarrow 2(x^{3}+y^{3})+\frac{\sqrt{2}}{2}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

 

Lại có: $x^{2}+y^{2}=1\Rightarrow x^{3}\leq x^{2};y^{3}\leq y^{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi davidsilva98: 31-07-2014 - 15:11

[chardhdmovies]

Ta có $\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}= \frac{x^{3}}{x\sqrt{1-x^{2}}}\geq \frac{x^{3}}{\frac{x^{2}+(\sqrt{1-x^{2}})^{2}}{2}}=2x^{3}$

Tương tự với $\frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}$, $\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}}$

Cộng vế với vế ta suy ra đpcm.

nếu là kiểu này thì dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{2}$ không thỏa $x^3+y^3+z^3=1$

[mnguyen99]

nếu là kiểu này thì dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{2}$ không thỏa $x^3+y^3+z^3=1$

TH dấu = ko xảy ra.

[Dam Uoc Mo]

Bài 1. 

Vì $2x+y\leq 2\Rightarrow y\leq 2-2x$ nên $2x^{2}+y^{2}\leq 2x^{2}+(2-2x)^{2}$

Do đó cần chứng minh $2x^{2}+(2-2x)^{2}\leq \frac{3}{2}\Leftrightarrow \frac{1}{2}\leq x\leq \frac{5}{6}$ (đúng)

Vậy $2x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{2}$

 

Bài 2. 

Theo bđt AM-GM ta có:

$x^{3}+x^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}\geq \frac{3\sqrt{2}.x^{2}}{2}$

$y^{3}+y^{3}+\frac{\sqrt{2}}{4}\geq \frac{3\sqrt{2}y^{2}}{2}$

$\Rightarrow 2(x^{3}+y^{3})+\frac{\sqrt{2}}{2}\geq \frac{3\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}$

 

Lại có: $x^{2}+y^{2}=1\Rightarrow x^{3}\leq x^{2};y^{3}\leq y^{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}\leq x^{2}+y^{2}=1$

Sao $\frac{1}{2}\leq x\leq \frac{5}{6}$ lại đúng?

[Riann levil]

nếu là kiểu này thì dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{2}$ không thỏa $x^3+y^3+z^3=1$

bài nay dâu =khong xay ra . Mình nghĩ vậy

[bestmather]

1 ) Cho $0\leq x\leq y\leq 1$ ; $2x+y \leq 2$ .Chứng minh : $2x^{2}+y^{2}\leq \frac{3}{2}$
2) Cho $x,y \geq 0$ ; $x^{2}+ y^{2}=1$ . Chứng minh : $\frac{1}{\sqrt{2}}\leq x^{3}+y^{3}\leq 1$
3) Cho x³+y³+z³=1 ; x,y,z > 0 . Chứng minh : 
$\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} + \frac{y^{2}}{\sqrt{1-y^{2}}}+\frac{z^{2}}{\sqrt{1-z^{2}}} \geq 2$

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}\geq \frac{x^3}{\frac{1-x^2+x^2}{2}}=2x^3$

$\Rightarrow VT\geq 2(x^3+y^3+z^3)=2$

dấu (=) không xảy ra !