Chủ đề này có 1 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. CMR:
$$\frac{ab+bc+ca}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geq 8(a^2+b^2+c^2)$$

[25 minutes]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa mãn $a+b+c=1$. CMR:
$$\frac{ab+bc+ca}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}\geq 8(a^2+b^2+c^2)$$

Đặt $t=ab+bc+ca\Rightarrow 0\leqslant t\leqslant \frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{1}{3}$

Sử dụng $a+b+c=1$, BĐT trở thành 

      $\frac{t}{t^2-2abc(a+b+c)}\geqslant 8\left [ (a+b+c)^2-2(ab+bc+ca) \right ]$

$\Leftrightarrow \frac{t}{t^2-2abc}\geqslant 8(1-2t)$

Dễn thấy $\frac{t}{t^2-2abc}\geqslant \frac{t}{t^2}=\frac{1}{t}$

Do đó ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{t}\geqslant 8(1-2t)$

                             $\Leftrightarrow 16t^2-8t+1\geqslant 0\Leftrightarrow (4t-1)^2\geqslant 0$

Vậy ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a+b+c=1\\abc=0 \\t=ab+bc+ca=\frac{1}{4} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow (a,b,c)=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$ và hoán vị