Chủ đề này có 1 trả lời

[Thao Meo]

1) Chứng minh rằng :
$\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{15}}> \frac{\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{28}}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{49}}$
2) Cho $\left | a \right |$ < 1 . Chứng minh :
$\sqrt[4]{(1-a)^{2}} + \sqrt[4]{1-a}+\sqrt[4]{1+a} < 3$
3) Cho a, b > 0 thỏa mãn a +b = 1
Chứng minh : $\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2} + \left ( b+\frac{1}{b} \right )^{2} \geq \frac{25}{2}$

[Shironeko]

 

1) Chứng minh rằng :
$\frac{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{15}}> \frac{\sqrt[3]{12}+\sqrt[3]{21}+\sqrt[3]{28}}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{16}+\sqrt[3]{49}}$
3) Cho a, b > 0 thỏa mãn a +b = 1
Chứng minh : $\left ( a+\frac{1}{a} \right )^{2} + \left ( b+\frac{1}{b} \right )^{2} \geq \frac{25}{2}$

1. Đặt: $x=\sqrt[3]{2}$; $y=\sqrt[3]{5}$; $z=\sqrt[3]{3}$

Ta có: $VT=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{xy+yz+zx}$

Dễ chứng minh: $x^{2}+y^{2}+z^{2} \geq xy+yz+zx$

Suy ra: $VT \geq 1$

Mà đẳng thức xảy ra khi x=y=z (vô lí), do đó VT>1

Tương tự: VP<1

Vậy: VT>VP

3. Ta có:

$2VT=2[(a+\frac{1}{a})^{2}+(b+\frac{1}{b})^{2}]\geq (a+\frac{1}{a}+b+\frac{1}{b})^{2}=(1+\frac{1}{ab})^{2}\geq [1+\frac{4}{(a+b)^{2}}]^{2}=25$

$\Rightarrow VT\geq \frac{25}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi a=b=1/2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Shironeko: 03-08-2014 - 07:28