Chủ đề này có 10 trả lời

[NancyLe]

Chứng minh các bất đẳng thức:

1)$a+\frac{1}{a}\geq \frac{10}{3}$ $(a\geq 3)$

2)$\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\leq 1, a,b,c> 0$ và $abc= 1$

3)$a+\frac{4}{b(a-b)^{2}}\geq 2\sqrt{2}(a> b>0)$

4)$\frac{2a^{3}+1}{4b(a-b)}\geq 3(a\geq \frac{1}{2},\frac{a}{b}> 1 )$

5)$a+\frac{27}{2(a-1)(a+1)^{3}}\geq \frac{5}{2}(a> 1)$

6)$2a+\frac{1}{(a-b)(b-c)(c+1)}\geq 4 (a> b> c> 0)$

7)$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+b+c)^{2}, (a,b,c> 0)$

8)$(1+x)(1+\frac{y}{x})(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^{2}\geq 256(x,y> 0)$

9)$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{b^3}{c(a+b)}+\frac{c^3}{a(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}(a,b,c> 0)$

10)Cho $a,b,c> 0,abc=1$. Chứng minh $\frac{a}{ab+1}+\frac{b}{bc+1}+\frac{c}{ac+1}\geq \frac{3}{2}$

11) Cho $a,b,c> 0$, $a+b+c=1$ Chứng minh $\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}\geq \frac{27}{4}$

12) Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b=abc$ Chứng minh $\frac{b}{a^{2}+ab}+\frac{c}{b^{2}+bc}+\frac{a}{c^{2}+ca}\geq \frac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NancyLe: 06-08-2014 - 14:05

[Viet Hoang 99]

Chứng minh các bất đẳng thức:

1)$a+\frac{1}{a}\geq \frac{10}{3}$ $(a\geq 3)$

 

$1)$

Dự đoán dấu $"="$ xảy ra khi: $a=3$
Áp dụng Cô si

$a+\frac{1}{a}=a+\frac{9}{a}-\frac{8}{a}\geq 2\sqrt{9}-\frac{8}{3}=6-\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 05-08-2014 - 13:36

[quangnghia]

Bài 2) $a=x^{3},b=y^{3},c=z^{3}$

Do $abc=1$ nên $xyz=1$

Ta sẽ chứng minh $\frac{1}{x^{3}+y^{3}+xyz}+\frac{1}{y^{3}+z^{3}+xyz}+\frac{1}{x^{3}+z^{3}+xyz}\leq 1$

Ta có: $\frac{x^{2}}{y}+y\geq 2x$

$\frac{y^{2}}{x}+x\geq 2y$

Cộng 2 vế bđt này lại ta được:

$\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{x}\geq x+y$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$

$\Rightarrow x^{3}+y^{3}+xyz\geq xy(x+y+z)$

$\Rightarrow \frac{1}{x^{3}+y^{3}+xyz}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}$

$\Rightarrow \sum \frac{1}{x^{3}+y^{3}+xyz}\leq \frac{1}{xy(x+y+z)}+\frac{1}{yz(x+y+z)}+\frac{1}{xz(x+y+z)}\leq \frac{x+y+z}{xyz(x+y+z)}\leq 1$

[phamquanglam]

Chứng minh các bất đẳng thức:

3)$a+\frac{4}{b(a-b)^{2}}\geq 2\sqrt{2}(a> b>0)$

3/

Áp dụng AM-GM:

$VT=a+\frac{4}{b(a-b)^{2}}=\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+\frac{4}{b(a-b)^{2}}+b\geq 4$

P/s: Xem lại đầu bài hộ mình với! Nếu như thế này thì cách làm là đúng!  

9/

Áp dụng AM-GM:

$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{b}{2}+\frac{c+a}{4}\geq \frac{3}{2}a$

$\frac{b^{3}}{c(a+b)}+\frac{c}{2}+\frac{a+b}{4}\geq \frac{3}{2}b$

$\frac{c^{3}}{a(b+c)}+\frac{a}{2}+\frac{b+c}{4}\geq \frac{3}{2}c$

Cộng hết vào:

$\Rightarrow \sum \frac{a^{3}}{b(c+a)}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 05-08-2014 - 14:38

[phamquanglam]

Chứng minh các bất đẳng thức:

7)$(a^{3}+b^{3}+c^{3})(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq (a+b+c)^{2}, (a,b,c> 0)$

8)$(1+x)(1+\frac{y}{x})(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^{2}\geq 256(x,y> 0)$

7/

Áp dụng Cauchy-Schwarz là ra ngay điều cần chứng mịnh!!!!!

8/

Áp dụng Cauchy-Schwarz:

$(1+x)(1+\frac{y}{x})(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^{2}\geq (1+\sqrt{y})^{2}(1+\frac{9}{\sqrt{y}})^{2}\geq (1+3)^{4}=256$

9/

$\frac{1}{a+bc}=\frac{1}{a(a+b+c)+bc}=\frac{1}{a^{2}+ab+ac+bc}=\frac{1}{(a+c)(a+b)}\geq \frac{4}{(2a+b+c)^{2}}=\frac{4}{(a+1)^{2}}\Rightarrow \sum \frac{1}{a+bc}\geq \sum \frac{4}{(a+1)^{2}}$

Áp dụng Cauchy

$\sum (\frac{4}{(a+1)^{2}}+\frac{9}{4})\geq \sum \frac{6}{a+1}\geq 6\frac{9}{a+b+c+3}=\frac{27}{2}\Rightarrow \sum \frac{4}{(a+1)^{1}}\geq \frac{27}{4}$

Hay $\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{27}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamquanglam: 05-08-2014 - 14:47

[quangnghia]

4) Ta có $4b(a-b)\leq (b+a-b)^{2}\leq a^{2}$

$\Rightarrow \frac{2a^{3}+1}{4b(a-b)}\geq \frac{2a^{3}+1}{a^{2}}\geq 2a+\frac{1}{a^{2}}=a+a+\frac{1}{a^{2}}\geq 3$

[Super Fields]

11) Cho $a,b,c> 0$, $a+b+c=1$ Chứng minh $\frac{1}{a+bc}+\frac{1}{b+ca}+\frac{1}{c+ab}\geq \frac{27}{4}$

$BCS-Engle$ và $AM-GM$ 

 

$$\sum \frac{1}{a+bc}\geq \frac{9}{1+\sum bc}\geq \frac{9}{1+\dfrac{(\sum a)^2}{3}}= \frac{9}{1+\dfrac{1}{3}}=\frac{27}{4}$$

[Super Fields]

12) Cho $a,b,c>0$ thỏa $a^{3}c+b^{3}a+c^{3}b=abc$ Chứng minh $\frac{b}{a^{2}+ab}+\frac{c}{b^{2}+bc}+\frac{a}{c^{2}+ca}\geq \frac{9}{2}$

 

$$GT:a^3c+b^3a+c^3b=abc\Rightarrow \sum \frac{a^2}{b}=1$$

 

Lại thấy: $$1=\sum \frac{a^2}{b}\geq \sum a$$

 

$BCS-Engle$ và $2$ nhận xét trên cho ta

 

 

$$\sum \frac{b}{a^2+ab}=\sum \bigl(\begin{smallmatrix} \dfrac{1}{\dfrac{a^2}{b}+a} \end{smallmatrix}\bigr)\geq \frac{9}{1+\sum a}\geq \frac{9}{2}$$

 

-------------------------

Bài thứ $400$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Super Fields: 05-08-2014 - 14:45

[quangnghia]

Bài 6) Ta có $2a+\frac{1}{(a-b)(b-c)(c+1)}\geq 2a+\frac{1}{(\frac{a-b+b-c+c+1}{3})^{3}}\geq 2a+\frac{27}{(a+1)^{3}}\geq \frac{2(a+1)}{3}+\frac{2(a+1)}{3}+\frac{2(a+1)}{3}+\frac{27}{(a+1)^{3}}-2\geq 4\sqrt[4]{8}-2$

Mình có sai hông ta

[Super Fields]

9)$\frac{a^{3}}{b(c+a)}+\frac{b^3}{c(a+b)}+\frac{c^3}{a(b+c)}\geq \frac{a+b+c}{2}(a,b,c> 0)$

 

Liệu ta có đánh giá sau? : $$\sum \frac{bc}{a}\leq \sum a$$

 

Nếu vậy:

 

$$\sum \frac{a^3}{b(c+a)}=\sum \frac{a^2}{\dfrac{bc}{a}+b}\geq \frac{(\sum a)^2}{\sum a+\sum \dfrac{bc}{a}}\geq \frac{(\sum a)^2}{2\sum a}=\frac{\sum a}{2}$$

 

----------------

Chém nháp thôi :v góp ý cho em :v

[Bui Ba Anh]

9.Áp dụng BDDT cauchy cho bộ ba số dương,ta có

$\sum \frac{a^{3}}{b(a+c)}+\frac{b}{2}+\frac{a+c}{4}\geq \sum \frac{3a}{2}=\frac{3a}{2}+\frac{3b}{2}+\frac{3c}{2}$

Thu gọn BĐT trên,ta có đpcm