Chủ đề này có 1 trả lời

[Trang Luong]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng : 

$$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^3+abc}}+\frac{b+c}{\sqrt[3]{b^3+abc}}+\frac{a+c}{\sqrt[3]{c^3+abc}}\geq 3\sqrt[3]4$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Trang Luong: 05-08-2014 - 20:49

[Hoang Tung 126]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng : 

$$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a^3+abc}}+\frac{b+c}{\sqrt[3]{b^3+abc}}+\frac{a+c}{\sqrt[3]{c^3+abc}}\geq 3\sqrt[3]4$$

Theo AM-GM có $\sum \frac{a+b}{\sqrt[3]{a(a^2+bc)}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{\sqrt[3]{abc(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)}}}\geq 3\sqrt[3]{4}< = > (a+b)^3(b+c)^3(c+a)^3\geq 64abc(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)$

 Theo AM-GM có $(a+b)(a+c)=(a^2+bc)+a(b+c)\geq 2\sqrt{a(a^2+bc)(b+c)}$

                              $(b+c)(b+a)=(b^2+ac)+b(a+c)\geq 2\sqrt{b(b^2+ac)(a+c)}$

                              $(c+a)(c+b)=(c^2+ab)+c(a+b)\geq 2\sqrt{c(c^2+ab)(a+b)}$

Do đó $(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\geq 8\sqrt{abc(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)(a+b)(b+c)(c+a)}< = > (a+b)^3(b+c)^3(c+a)^3\geq 64abc(a^2+bc)(b^2+ac)(c^2+ab)$ (ĐPCM)