Chủ đề này có 3 trả lời

[hoangmanhquan]

Cho $x,y,z\in \left [ -1;3 \right ]$ thỏa mãn: $x+y+z=3$.

CMR:

$x^2+y^2+z^2\leq 11$

[Super Fields]

Cho $x,y,z\in \left [ -1;3 \right ]$ thỏa mãn: $x+y+z=3$.

CMR:

$x^2+y^2+z^2\leq 11$

 

Từ giả thuyết

 

$$x \in [-1;3]\Rightarrow (x+1)(x-3)\leq 0\Rightarrow x^2-2x\leq 3$$

 

Thiết lập các bđt tương tự và cộng vế:$$\sum x^2-2\sum x\leq 9\Rightarrow \sum x^2\leq 9+2=11$$

 

Ta có đpcm

[Riann levil]

Ta có $(x+1)(y+1)(z+1)\geq 0\Rightarrow xy+yz+zx\geq -4-xyz$

Lại có $(3-x)(3-y)(3-z)\geq 0\Rightarrow 3(xy+yz+zx)\geq xyz$

Cộng theo vế ta có$4(xy+yz+zx)\geq -4\Leftrightarrow xy+yz+zx\geq -1$

Mặt khác $\left ( x+y+z \right )^{2}=9\Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}= 9-2(xy+yz+zx)\leq 9+2=11$ $\Rightarrow đpcm$

Dấu = xảy ra khi trong 3 số x,y,z có  1số bằng 3, một số băng -1, một số băng 1

[nguyenhongsonk612]

Cho $x,y,z\in \left [ -1;3 \right ]$ thỏa mãn: $x+y+z=3$.

CMR:

$P= x^2+y^2+z^2\leq 11$

Cũng có thể chứng minh theo cách này này cậu 

Giải:

Đặt $a=x-1;b=y-1;c=z-1$ $\Rightarrow a+b+c=0\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất $2$ số cùng dấu 

Không mất tính tổng quát, giả sử $2$ số đó là $a$ và $b$ $\Rightarrow ab\geq 0$

Ta có $x,y,z \in [-1;3]$ $\Rightarrow a,b,c \in \begin{bmatrix} -2;2 \end{bmatrix}$

Khi đó $P=(a+1)^2+(b+1)^2+(c+1)^2=a^2+b^2+c^2+3$

Như vậy cần chứng minh $a^2+b^2+c^2\leq 8$

Ta có $a^2+b^2+c^2\leq 2\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} b \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c \end{vmatrix} \end{pmatrix}=2\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a+b \end{vmatrix}+\begin{vmatrix} c \end{vmatrix} \end{pmatrix}=2.2\begin{vmatrix} c \end{vmatrix}\leq 2.2.2=8$ (đpcm)

BĐT được chứng minh. Dấu "=" $\Leftrightarrow x=3;y=-1;z=1$ và các hoán vị