Cho 3 số thực không âm thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CM:
$\sum\frac{a^2}{2bc+1}\geq \frac{3}{5}$
CM: $\sum\frac{a^2}{2bc+1}\geq \frac{3}{5}$
Bắt đầu bởi Namthemaster1234, 08-08-2014 - 15:19
#1
Đã gửi 08-08-2014 - 15:19
Namthemaster1234
-
- Thành viên
-
- 550 Bài viết
Thiếu úy
- canhhoang30011999 và chieckhantiennu thích
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
#2
Đã gửi 08-08-2014 - 16:03
chieckhantiennu
-
- Thành viên
-
- 621 Bài viết
Thiếu úy
Giả sử $a\geq b\geq c\rightarrow \frac{1}{2bc+1}\geq \frac{1}{2ac+1}\geq \frac{1}{2ab+1}$
Áp dụng BĐT Chebyshev ta có:
$3\sum \frac{a^2}{2bc+1}\geq (a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{2bc+1}+\frac{1}{2ac+1}+\frac{1}{2ab+1})\geq (a^2+b^2+c^2)(\frac{9}{2bc+2ac+2ab+3})\geq \frac{9(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)+3}=\frac{9}{5}$
$\rightarrow ĐPCM$. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chieckhantiennu: 08-08-2014 - 16:04
- canhhoang30011999 và ducbau007 thích
#3
Đã gửi 05-05-2021 - 14:31
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho 3 số thực không âm thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=1$
CM:
$\sum\frac{a^2}{2bc+1}\geq \frac{3}{5}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: $\sum\frac{a^2}{2bc+1}=\sum \frac{a^4}{2a^2bc+a^2}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2abc(a+b+c)+(a^2+b^2+c^2)}\geqslant \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{2.\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{3}+(a^2+b^2+c^2)}=\frac{3}{5}$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
