Chủ đề này có 1 trả lời

[xxthieuongxx]

Cho 3 số dương a, b, c > 0 t/m: a + b + c =3.

 

CMR: $5+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq (a+b)(b+c)(c+a)$

[Hoang Tung 126]

Cho 3 số dương a, b, c > 0 t/m: a + b + c =3.

 

CMR: $5+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq (a+b)(b+c)(c+a)$

Theo Cosi thì $a^2+a^2+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a}\geq 5\sqrt[5]{a^2.a^2.a}=5a= > \sqrt[3]{a}\geq \frac{5a-2a^2}{3}$

Tương tự        $\sqrt[3]{b}\geq \frac{5b-b^2}{3}$

                        $\sqrt[3]{c}\geq \frac{5c-2c^2}{3}$

Cộng theo vế $= > \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq \frac{5(a+b+c)-2(a^2+b^2+c^2)}{3}= > \sum \sqrt[3]{a}+5\geq \frac{5\sum a-2\sum a^2}{3}+5=\frac{5.3-2\sum a^2}{3}+5=10-\frac{2\sum a^2}{3}$

Do đó cần CM :$10-\frac{2\sum a^2}{3}\geq (a+b)(b+c)(c+a)< = > 30-2\sum a^2\geq 3\sum ab(a+b)+6abc< = > 90-2.3.\sum a^2\geq 9\sum ab(a+b)+18abc< = > \frac{10(\sum a)^3}{3}-2(\sum a)(\sum a^2)\geq 9\sum ab(a+b)+18abc< = > 10(\sum a)^3\geq 6(\sum a)(\sum a^2)+27\sum ab(a+b)+54abc< = > 10\sum a^3+30\sum ab(a+b)+60abc\geq 6(\sum a)(\sum a^2)+27\sum ab(a+b)+54abc< = > 4\sum a^3+6abc\geq 3\sum ab(a+b)$

BDT này đúng vì theo AM-GM và Schur có 

    $2(\sum a^3+3abc)\geq 2\sum ab(a+b)$

    $2\sum a^3\geq \sum ab(a+b)$

Dấu =xảy ra khi $a=b=c=1$