Chủ đề này có 8 trả lời

[killerdark68]

1/cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Tìm min P=$\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}$

2/Tìm Max B=$4x^2-3x^3$ trong đó $0\leq x< \frac{4}{3}$

[quangnghia]

1/cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Tìm min P=$\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}$

2/Tìm Max B=$4x^2-3x^3$ trong đó $0\leq x< \frac{4}{3}$

2) Ta có $B=4x^{2}-3x^{3}=x^{2}(4-3x)=\frac{4}{9}.\frac{3x}{2}.\frac{3x}{2}.(4-3x)\leq \frac{4}{9}(\frac{\frac{3x}{2}+\frac{3x}{2}+4-3x}{3})^{3}\leq \frac{256}{243}$

[CHU HOANG TRUNG]

1/cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Tìm min P=$\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}$

 

$P=\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{1}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum ab}$

Vì $(a+b+c)^2\geq 3\sum ab\Rightarrow \sum ab\leq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{9}{\sum ab}\geq 27$

Lại có $a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc.$

Mà $ab+ac+bc\leq \frac{1}{3}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq 3$

Vậy $P\geq 3+27=30$

$P_{min}=30 \Leftrightarrow a=b=c= \frac{1}{3}$

[nguyenhongsonk612]

1/cho a,b,c>0 và a+b+c=1.Tìm min P=$\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}$

 

Giải

Áp dụng BĐT S-vác ta có

$P\geq \frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}$

Dự đoán $P$ min $=30$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Ta chỉ cần chứng minh $\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\geq 30$ $(1)$

Đặt $ab+bc+ca=t$ $\Rightarrow a^2+b^2+c^2=1-2t$

Theo BĐT $AM-GM$ dễ dàng suy ra $t\leq \frac{1}{3}$

Khi đó $(1)$ $\Leftrightarrow \frac{1}{1-2t}+\frac{9}{t}\geq 30\Leftrightarrow (3t-1)(20t-9)\geq 0$ (luôn đúng vì $t\leq \frac{1}{3}$)

Vậy BĐT được chứng minh

$P$ min $=30$. Dấu "=" $\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhongsonk612: 15-08-2014 - 13:17

[nguyenhongsonk612]

$P=\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{1}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum ab}$

Vì $(a+b+c)^2\geq 3\sum ab\Rightarrow \sum ab\leq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{9}{\sum ab}\geq 27$

Lại có $a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc.$

Mà $$ab+ac+bc\leq \frac{1}{3}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq \frac{1}{3}$\Leftrightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq 3$

Vậy $P\geq 3+27=30$

$P_{min}=30 \Leftrightarrow a=b=c= \frac{1}{3}$

Chỗ đỏ này tại sao bạn? 

[Bui Ba Anh]

$P=\frac{1}{\sum a^2}+\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{1}{\sum a^2}+\frac{9}{\sum ab}$

Vì $(a+b+c)^2\geq 3\sum ab\Rightarrow \sum ab\leq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{9}{\sum ab}\geq 27$

Lại có $a^2+b^2+c^2\geq ab+ac+bc.$

Mà $ab+ac+bc\leq \frac{1}{3}\Rightarrow a^2+b^2+c^2\leq \frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\geq 3$

Vậy $P\geq 3+27=30$

$P_{min}=30 \Leftrightarrow a=b=c= \frac{1}{3}$

Dòng số 3 và 4 là không chính xác nha bạn,giả sử $5>3$ và $3<4$ thì $5<4$ ???????

[Bui Ba Anh]

Ta có $\frac{1}{\sum a^{2}}+\sum \frac{1}{ab}\geq \frac{1}{\sum a^{2}}+\frac{9}{\sum ab}=(\frac{1}{\sum a^{2}}+\frac{4}{2\sum ab})+\frac{7}{\sum ab}\geq \frac{9}{(\sum a)^{2}}+\frac{7}{\frac{(\sum a)^{2}}{3}}=21+9=30$

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là $30$ khi $a=b=c=\frac{1}{3}$ $Q.E.D$

[CHU HOANG TRUNG]

Dòng số 3 và 4 là không chính xác nha bạn,giả sử $5>3$ và $3<4$ thì $5<4$ ???????

Dòng thứ 3 sao lại không chính xác được chứ Thử chứng minh xem :nhân 2 vế với 2 rồi ta được bất đúng

[Bui Ba Anh]

Sr mình nhầm Dòng thứ $4;5$ bạn à