Bài 2: Cho $a,b,c>0$, $abc = 1$. CMR: $\frac{a}{b^3+b}+\frac{b}{c^3+c}+\frac{c}{a^3+a}\geq \frac{3}{2}$.
Bài 3: Cho $a,b,c>0$. CMR: $5+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq (1+a)(1+b)(1+c)$.
Bài 4: Cho $a,b,c>0$, $abc = 1$. CMR: $\sqrt{\frac{a+b}{b+1}}+\sqrt{\frac{b+c}{c+1}}+\sqrt{\frac{c+a}{a+1}}\geq 3$.
Bài 5: Cho $a,b,c>0$, $abc = 1$. CMR: $\frac{ab}{c(c+a)}+\frac{bc}{a(a+b)}+\frac{ca}{b(b+c)}\geq \frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}.$
Bài 2:
Dựa vào $abc=1$ ta biến đổi
$Vt=\sum \frac{a^3c^2}{b+ac}=\sum (a^2c-\frac{a^2cb}{ac+b})=\sum a^2c-\sum \frac{a}{ac+b}\geqslant \sum a^2c-\sum \frac{a}{2}$
Qua một vài bước biến đổi ta chứng minh được
$\sum a^2c\geqslant \sum a\Rightarrow Vt\geqslant \frac{a^2c+b^2a+c^2b}{2}\geqslant \frac{3}{2}$
Bài 3
Chuẩn hoá $abc=1$ và đặt $(a,b,c)=(\frac{x}{y},...)$
BĐT quy về chứng minh
$5abc+a^3+b^3+c^3\geqslant (a+b)(b+c)(c+a)\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\geqslant \sum ab(a+b)$ (đúng theo S. Chur)
Bài 4:
$AM-GM$
$Vt\geqslant 3\sqrt[6]{\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$
Áp dụng Kết quả bài 3
Ta sẽ chứng minh $(a+b)(b+c)(c+a)\geqslant 5+\sum \frac{a}{b}\Leftrightarrow \sum ab(a+b)\geqslant 3+\sum a^2b\Leftrightarrow \sum ab^2\geqslant 3$
(luôn đúng khi $abc=1$)
Vậy nên $\sqrt{\frac{\prod (a+b)}{\prod (a+1)}}\geqslant 1\Rightarrow Vt\geqslant 3$
Bài 5: Cách trâu bò là quy đồng quy về cmn kết hợp với $abc=1$
$\Leftrightarrow \sum a^2b^2(a+b)(b+c)\geqslant \sum a(a+b)(b+c)$
$\sum a^3b^3+\sum a^2b^4\geqslant \sum ab^2+3$
BDT có lẽ dễ chứng minh nhờ $AM-GM$ cộng với $abc=1$
---------------------
P/s: do không có thời gian nhiều nên có gì vắn tắt mong các bạn thong cảm
