Chủ đề này có 1 trả lời

[HoangHungChelski]

Cho $a_0<a_1<...<a_n$ nguyên dương. CMR: 
$$\frac{1}{[a_0,a_1]}+\frac{1}{[a_1,a_2]}+...+\frac{1}{[a_{n-1},a_n]}\leq 1-\frac{1}{2^n}$$
_________________

Kí hiệu: $[a,b]$ là BCNN của cặp $(a,b)$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangHungChelski: 17-08-2014 - 08:56

[WhjteShadow]

Cho $a_0<a_1<...<a_n$ nguyên dương. CMR: 
$$\frac{1}{[a_0,a_1]}+\frac{1}{[a_1,a_2]}+...+\frac{1}{[a_{n-1},a_n]}\leq 1-\frac{1}{2^n}$$
_________________

Kí hiệu: $[a,b]$ là BCNN của cặp $(a,b)$.

Ta chứng minh bằng quy nạp điều trên đúng, thật vậy với $n=1$ hiển nhiên ta có đpcm.

Giả sử nó đúng đến $n-1$, ta chứng minh nó đúng với $n$. Xét 2 trường hợp :

$\bullet$ Nếu $x_n>2^{n}\Rightarrow [a_{n-1};a_n]\geq a_n>2^{n}$ và sử dụng giả thiết quy nạp ta có :

$$\left(\frac{1}{[a_0;a_1]}+...+\frac{1}{[a_{n-2};a_{n-1}]}\right)+\frac{1}{[a_{n-1};a_n]}<1-\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^{n}}\\=1-\frac{1}{2^{n}}$$

$\bullet$ Nếu $x_n\leq 2^{n}$, ta chú ý $\forall i\in \mathbb{N}\, , \, \frac{1}{[a_{i};a_{i+1}]}=\frac{(a_i;a_{i+1})}{a_i.a_{i+1}}\\=\frac{(a_i;a_{i+1}-a_i)}{a_i.a_{i+1}}\leq \frac{a_{i+1}-a_i}{a_i.a_{i+1}}=\frac{1}{a_i}-\frac{1}{a_{i+1}}$

Suy ra : 

$$\frac{1}{[a_0;a_1]}+...+\frac{1}{[a_{n-1};a_{n}]}\leq \frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1}-\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{n-1}}-\frac{1}{a_n}\\=\frac{1}{a_0}-\frac{1}{a_n}\leq 1-\frac{1}{2^n}$$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 19-08-2014 - 21:45