1 reply to this topic

[Super Fields]

Bài toán:

 

Cho dãy số nguyên dương $x_1;x_2;...x_{100}$ . Dãy đó thoả mãn:$$\sum_{j=1}^{100}\frac{1}{\sqrt{x_j}}=20$$.

Chứng minh rằng:

Tồn tại $x_i=x_k$  

Trong đó: $(i \neq k)$ và  $(i;k=\overline{1,100})$

 

________________________________________

Tặng chú HoangHungChelski

Edited by Super Fields, 17-08-2014 - 08:53.

[HoangHungChelski]

Lời giải: 
Giả sử trong $100$ số tự nhiên đã cho, không có hai số nào bằng nhau. Không mất tính tổng quát, giả sử $a_1<a_2<...<a_j$, trong đó $i\neq j, i;k=\overline{1,100}$
$\Rightarrow a_1\geq 1,a_2\geq 2,...,a_{100}\geq 100\Rightarrow \sum_{j=1}^{100}\frac{1}{a_j}\leq \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}$
Mà dễ dàng thấy: $\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{100}}<2\sqrt{100}-1<20$
$\Longrightarrow \sum_{j=1}^{100}\frac{1}{a_j}<20$ (trái với giả thiết)
Vậy ta có $Q.E.D$ $\square$

Thanks chú Huy!

Edited by HoangHungChelski, 17-08-2014 - 09:24.