Chủ đề này có 1 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm $\min P=\sum \frac{a^{2}+b}{b+c}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duaconcuachua98: 18-08-2014 - 21:58

[datmc07061999]

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$

Tìm $\min P=\sum \frac{a^{2}+b}{b+c}$

Giả sử $a\geq b\geq c\Rightarrow a^{2}+b\geq b^{2}+c\geq c^{2}+a$. và $\frac{1}{b+c}\geq \frac{1}{c+a}\geq \frac{1}{a+b}$.

Áp dụng BĐT chebyshev $ax+by+cz\geq \frac{(a+b+c)(x+y+z)}{3}$. Ta được:

$3\sum \frac{a^{2}+b}{b+c} \geq (\sum a^{2}+\sum b)\sum \frac{1}{b+c}$.

Ta lại có $\sum a^{2}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{3}=3$.

$\sum \frac{1}{b+c}\geq \frac{9}{2(a+b+c)}=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow 3\sum \frac{a^{2}+b}{b+c} \geq (\sum a^{2}+\sum b)\sum \frac{1}{b+c}\geq 9\Rightarrow P\geq 3$.

Vậy $Min_{P}=3\Leftrightarrow a=b=c=1$