Chủ đề này có 5 trả lời

[lmht]

CM: $$-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}<1$$ Với mọi x. cái này mình không lầm thì nó liên quan đến bdt minkovsky thì phải

[QuynhTam]

CM: $$-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}<1$$ Với mọi x. cái này mình không lầm thì nó liên quan đến bdt minkovsky thì phải

Ta cần chứng minh: $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}<1$ 

<=> $\sqrt{x^2+x+1}<1+\sqrt{x^2-x+1}$

<=> $\sqrt{4x^2+4x+4}<2+\sqrt{4x^2-4x+4}$

<=> $\sqrt{(2x+1)^2+3}<2+\sqrt{(2x-1)^2+3}$  (1)

 Áp dụng BĐT : $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$ với mọi a,b,c,d ( Tự chứng minh bằng tương đương )

 Ta có : $\sqrt{(2x-1)^2+\sqrt{3}^2}+\sqrt{2^2+0^2}\geq \sqrt{(2x-1+2)^2+(\sqrt{3}+0)^2}$

          <=> $2+\sqrt{(2x-1)^2+3}\geq \sqrt{(2x+1)^2+3}$ => Thoả mãn (1)

=>  $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\leq 1$

Dấu "=" xảy ra <=> $0.(2x-1)=2\sqrt{3}$ <=> $0=2\sqrt{3}$ ( Vô lí )

Vậy dấu "=" không xảy ra =>  $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}<1$ 

Còn cái $-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$ đổi thành $\sqrt{x^2-x+1}< \sqrt{x^2+x+1}+1$ rồi chứng minh tương tự như trên nha!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuynhTam: 22-08-2014 - 20:36

[Bui Ba Anh]

Mình nghĩ là không liên quan đến $Minkopski$ đâu nhé vì nó chỉ dùng cho bình phương trong căn thôi

Đơn giản chỉ là bình phương vì tích 2 căn thức là $1$là hằng đẳng thức quen thuộc

$<=>(\sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1})^{2}< 1<=>2x^{2}+1-2\sqrt{x^{4}+x^{2}+1}< 0<=>4x^{4}+4x^{2}+1< 4x^{4}+x^{2}+4$ (đúng)

$Q.E.D$

[Mikhail Leptchinski]

CM: $$-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}<1$$ Với mọi x. cái này mình không lầm thì nó liên quan đến bdt minkovsky thì phải

Bài toán đã cho như vậy rồi thì nên biến đổi tương đương bạn à.Minkovsky phải cộng dạng của nó là

$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2}+\sqrt{(b+d)^2}$?

[thinhrost1]

Ta cần chứng minh: $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}<1$ 

<=> $\sqrt{x^2+x+1}<1+\sqrt{x^2-x+1}$

<=> $\sqrt{4x^2+4x+4}<2+\sqrt{4x^2-4x+4}$

<=> $\sqrt{(2x+1)^2+3}<2+\sqrt{(2x-1)^2+3}$  (1)

 Áp dụng BĐT : $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\geq \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$ với mọi a,b,c,d ( Tự chứng minh bằng tương đương )

 Ta có : $\sqrt{(2x-1)^2+\sqrt{3}^2}+\sqrt{2^2+0^2}\geq \sqrt{(2x-1+2)^2+(\sqrt{3}+0)^2}$

          <=> $2+\sqrt{(2x-1)^2+3}\geq \sqrt{(2x+1)^2+3}$ => Thoả mãn (1)

=>  $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\leq 1$

Dấu "=" xảy ra <=> $0.(2x-1)=2\sqrt{3}$ <=> $0=2\sqrt{3}$ ( Vô lí )

Vậy dấu "=" không xảy ra =>  $\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}<1$ 

Còn cái $-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$ đổi thành $\sqrt{x^2-x+1}< \sqrt{x^2+x+1}+1$ rồi chứng minh tương tự như trên nha!

$-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$ ban chứng minh cái đó luôn đi 

[QuynhTam]

$-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$ ban chứng minh cái đó luôn đi 

$-1< \sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}$ 

<=> $\sqrt{x^2-x+1}<\sqrt{x^2+x+1}+1$

<=> $\sqrt{(2x-1)^2+3}<\sqrt{(2x+1)^2+3}+2$

Áp dụng BĐT phụ mình nói ở trên ta có: 

 $\sqrt{(2x+1)^2+\sqrt{3}^2}+\sqrt{(-2)^2+0^2}\geq \sqrt{(2x+1-2)^2+(\sqrt{3}+0)^2}$

<=> $\sqrt{(2x+1)^2+3}+2\geq \sqrt{(2x-1)^2+3}$

=> Dấu "=" ko xảy ra => đpcm