Chủ đề này có 1 trả lời

[I Love MC]

$\sum_{cyc} (x+y).\sqrt{(z+x)(z+y)} \ge 4(xy+yz+xz) \forall x,y,z>0$

[Hoang Tung 126]

$\sum_{cyc} (x+y).\sqrt{(z+x)(z+y)} \ge 4(xy+yz+xz) \forall x,y,z>0$

Theo AM-GM kết hợp với bdt $(a+b)(b+c)(c+a)\geq \frac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ac)$

                                                   $a+b+c\geq \sqrt{3(ab+bc+ac)}$

$= > \sum (x+y)\sqrt{(y+z)(x+z)}=\sqrt{\prod (x+y)}(\sum \sqrt{x+y})\geq \sqrt{\frac{8}{9}(\sum x)(\sum xy)}.3\sqrt[6]{\prod (x+y)}\geq \sqrt{\frac{8}{9}\sqrt{3\sum xy}.(\sum xy)}.3\sqrt[6]{\frac{8}{9}(\sum x)(\sum xy)}\geq \sqrt{\frac{8}{9}.3\sqrt{\sum xy}.(\sum xy)}.3\sqrt[6]{\frac{8}{9}(\sum xy).\sqrt{3\sum xy}}=4\sum xy$